c) h =
n .
ln h =ln + n ln .
La pente de la droite obtenue en traçant ln (h)enfonction de
ln est – n.
On obtient : n =4 ln =–13,5 k =2.10 –6 SI.
d) Àl’abscisse x,lamasse m possède une énergie potentielle
de pesanteur mg x sin a.
De plus, la force F
➞ dérive d’une énergie potentielle E p F .
F
➞ =–grad
— ➞ E p F soit
=–k
n .
E p F =–kx n
0
àune constante additive près.
E p (x)=E p F +mg x = kx 1–n + mg x.
On peut éliminer h de cette expression en faisant intervenir x e .
E p (x)=kx 1–n + k
n x .
e)
=–k
+k
n .
= kn
.
D’où E p (x ≈ x e )=E p (x=x e )+kn
(x – x e ) 2 .
K = kn
.
f) Au voisinage de x = x e ,onadonc une force de rappel qui
s’écrit – K(x – x e ), correspondant àu ne constante de raideur
équivalente K.
g) La période d’oscillations T s’écrit alors:T=2π
1
.
T=2π 4 x e .
Or x e = x 0
– .
Donc T est proportionnelle à h
–
.
Si on fait la mesure de T pour différentes valeurs de h,o n
pourra en déduire la valeur du coefficient n.
Portrait de phase d’un oscillateur
pas toujoursharmonique
1 • Les ressorts, identiques, ont le même allongement :
Δ = 9a 2 + x 2 – 0 .
kL
mg
x 0
x e
kL
mg
x 0
x e
x 0
x e
n +1
2n
1
n
mgh
kL
n +1
2
m
knx 0
n
m
K
x 0
n
x e
n +1
1
2
x 0
n
x e
n+1
x 0
n
x n+1
d 2 E p
dx 2
x 0
x e
x 0
n
x n
dE p
dx
x 0
n
n –1
h
L
x 0
n
n–1
h
L
x 1–n
1–n
x 0
x e
dE p F
dx
kL
mg
x e
x 0
6
L’énergie potentielle emmagasinée est donc :
P =2 kΔ 2 +K
=kx 2 –2k 0 9a 2 +x 2 +k 0
2 +ka 2 + K.
L’énergie potentielle est définie àu ne constante près, et le
choix P (0) =0 impose K =2k 0 a–ka 2 .
Soit
P = kx
2
–2k 0 9a
2
+x
2
+2k 0 a.
Sur les courbes fournies on voit que :
• si a >1,ilyadeux positions d’équilibre stables symétriques
par rapportà O et une position d’équilibre instable :lepoint O ;
• si a <1,ilyaune seule position d’équilibre :lepoint O ;
elle est stable ;
• si a = 1,lepoint O est encore la seuleposition d’équilibre,
elle est stable mais la courbe est «p lus plate »q ue pour
a <1( les trois positions d’équilibre que l’on obtient pour
a >1 sont confondues : x = 0e st racine triple de la dérivée).
2 • Le théorème de l’énergie cinétique donne :
m
2 + p =cte,
soit encore :
ma 2
2 + p ( u )=cte
avec :
p (u)=ka 2 u 2 –2a81+u 2 +2a.
En dérivant, on obtient :
ma 2
+2ka 2 u
–2ka 2 a
=0,
ce qui donne :
=– u+ a
.
La nouvelle unité de temps T 0 impose t = t ′ T 0 ,
soit :
=
,
donc :
= –
u 1–
Sachant que W 2
0 =e t T 0 =, cela conduit à:
=–4π 2 u 1–
avec la nouvelle unité de temps.
3 • a) Les courbes (1) et (2) correspondent àd es mouvements oscillatoires autourd ’une des deux positions d’équilibre stable. La trajectoire de phase représentée par la courbe
(1) est elliptique :les petits mouvements du point sont (quasiment) harmoniques, la courbe (2) n’est pas du tout elliptique (en forme d’œuf) :les mouvementsunpeu plus grands
a
81+u 2
d 2 u
dt 2
2k
W 0
2k
m
a
81+u 2
2kT 2
0
m
d 2 u
dt 2
d 2 u
dt 2
d 2 u
dt 2
1
T
2
0
u
81+u 2
2k
m
2k
m
d 2 u
dt 2
du
dt
1
2
dx
dt
1
2
du
dt
u
81+u 2
du
dt
du
dt
d 2 u
dt 2
1
2
CORRIGÉS
Oscillateurs
4
54
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
n .
ln h =ln + n ln .
La pente de la droite obtenue en traçant ln (h)enfonction de
ln est – n.
On obtient : n =4 ln =–13,5 k =2.10 –6 SI.
d) Àl’abscisse x,lamasse m possède une énergie potentielle
de pesanteur mg x sin a.
De plus, la force F
➞ dérive d’une énergie potentielle E p F .
F
➞ =–grad
— ➞ E p F soit
=–k
n .
E p F =–kx n
0
àune constante additive près.
E p (x)=E p F +mg x = kx 1–n + mg x.
On peut éliminer h de cette expression en faisant intervenir x e .
E p (x)=kx 1–n + k
n x .
e)
=–k
+k
n .
= kn
.
D’où E p (x ≈ x e )=E p (x=x e )+kn
(x – x e ) 2 .
K = kn
.
f) Au voisinage de x = x e ,onadonc une force de rappel qui
s’écrit – K(x – x e ), correspondant àu ne constante de raideur
équivalente K.
g) La période d’oscillations T s’écrit alors:T=2π
1
.
T=2π 4 x e .
Or x e = x 0
– .
Donc T est proportionnelle à h
–
.
Si on fait la mesure de T pour différentes valeurs de h,o n
pourra en déduire la valeur du coefficient n.
Portrait de phase d’un oscillateur
pas toujoursharmonique
1 • Les ressorts, identiques, ont le même allongement :
Δ = 9a 2 + x 2 – 0 .
kL
mg
x 0
x e
kL
mg
x 0
x e
x 0
x e
n +1
2n
1
n
mgh
kL
n +1
2
m
knx 0
n
m
K
x 0
n
x e
n +1
1
2
x 0
n
x e
n+1
x 0
n
x n+1
d 2 E p
dx 2
x 0
x e
x 0
n
x n
dE p
dx
x 0
n
n –1
h
L
x 0
n
n–1
h
L
x 1–n
1–n
x 0
x e
dE p F
dx
kL
mg
x e
x 0
6
L’énergie potentielle emmagasinée est donc :
P =2 kΔ 2 +K
=kx 2 –2k 0 9a 2 +x 2 +k 0
2 +ka 2 + K.
L’énergie potentielle est définie àu ne constante près, et le
choix P (0) =0 impose K =2k 0 a–ka 2 .
Soit
P = kx
2
–2k 0 9a
2
+x
2
+2k 0 a.
Sur les courbes fournies on voit que :
• si a >1,ilyadeux positions d’équilibre stables symétriques
par rapportà O et une position d’équilibre instable :lepoint O ;
• si a <1,ilyaune seule position d’équilibre :lepoint O ;
elle est stable ;
• si a = 1,lepoint O est encore la seuleposition d’équilibre,
elle est stable mais la courbe est «p lus plate »q ue pour
a <1( les trois positions d’équilibre que l’on obtient pour
a >1 sont confondues : x = 0e st racine triple de la dérivée).
2 • Le théorème de l’énergie cinétique donne :
m
2 + p =cte,
soit encore :
ma 2
2 + p ( u )=cte
avec :
p (u)=ka 2 u 2 –2a81+u 2 +2a.
En dérivant, on obtient :
ma 2
+2ka 2 u
–2ka 2 a
=0,
ce qui donne :
=– u+ a
.
La nouvelle unité de temps T 0 impose t = t ′ T 0 ,
soit :
=
,
donc :
= –
u 1–
Sachant que W 2
0 =e t T 0 =, cela conduit à:
=–4π 2 u 1–
avec la nouvelle unité de temps.
3 • a) Les courbes (1) et (2) correspondent àd es mouvements oscillatoires autourd ’une des deux positions d’équilibre stable. La trajectoire de phase représentée par la courbe
(1) est elliptique :les petits mouvements du point sont (quasiment) harmoniques, la courbe (2) n’est pas du tout elliptique (en forme d’œuf) :les mouvementsunpeu plus grands
a
81+u 2
d 2 u
dt 2
2k
W 0
2k
m
a
81+u 2
2kT 2
0
m
d 2 u
dt 2
d 2 u
dt 2
d 2 u
dt 2
1
T
2
0
u
81+u 2
2k
m
2k
m
d 2 u
dt 2
du
dt
1
2
dx
dt
1
2
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dt
u
81+u 2
du
dt
du
dt
d 2 u
dt 2
1
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CORRIGÉS
Oscillateurs
4
54
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La photocopie non autorisée est un délit.