Pendule simple amorti
1 • Le point matérielest soumis à:
–son poids P
➞ = mg
➞ = mg (cosq e
➞
r –sinq e
➞
q );
–latraction du fil T
➞ = Te
➞
r (radiale pour un fil idéal);
–laforce du frottement f
➞ =–av
➞
=–a
.
q e
e
➞
q .
La relation fondamentale de la dynamique s’écrit :
ma
➞ = P
➞ + T
➞ + f
➞ ,
en projection sur e
➞
q on obtient m ¨
q = – mg sinq – a
·
q.
Si on se limite aux petits angles, cette équation devient :
m ¨
q + a
·
q + mgq = 0.
On peut la mettre sous la forme :
++ w 2
0 q =0,où= ,
soit :
t =e t w 0 =
1
.
t est la durée caractéristique de l’amortissement.
2 • On obtient un régime pseudo-périodique si le discriminant de l’équation caractéristique est négatif,c’est-à-dire si :
– w 2
0 0, doncsi w 0 t>1.
La pseudo-pulsation est :
w =
8
w 2
0 –= w 0 9
1–
.
et la pseudo-période T =.
q ( t )e st de la forme :
q (t)=exp
–
(A cos(w t)+Bsin(w t)),
donc :
q (t + T)=exp
–
q (t)e td =ln
=,
3 • a) Pour déterminer d ,onutilise les points B et C :
d =ln =ln =0,11.
b)Entre les points A et D ,oncompte sept pseudo-périodes,
d’où :
T == 1,1 s.
c) t == 10,1 s.
d) a == 9,3.10 –2 N.m –1 .s.
2m
t
T
d
t D – t A
7
8,95
8,02
q B
q C
T
t
q (t)
q (t + T )
T
t
t
t
2π
w
1
(w 0 t) 2
1
t 2
1
t 2
a
m
2
t
dq
d t
2
t
d 2 q
d t 2
2m
a
g
4
Modélisation d’un oscillateur
1 • Étude énergétique d’unoscillateur :
a) F
➞ =–grad
— ➞ E p .
Si F
➞ =–kx u
➞
x
E p = kx 2 ,àune constante additive près.
b) E p (y)=E 0 +α(y–Y 0 ) 2 donne F
➞ =–2α(y–y 0 )u
➞
y
Le principe fondamental de la dynamiqueappliqué àlamasse
m dans galiléen s’écrit :
mu
➞
y =–2α(y–y 0 )u
➞
y .
Soit
+
y =
y 0 .
On obtient l’équation d’un oscillateur harmonique de période
T =2π
2
.
La force totale agissant sur m est :
F
➞ =–ky u
➞
y – k(L 0 – y – L 0 )(– u
➞
y ).
F
➞ =–2ky u
➞
y .
E p (y)=ky 2 .O naalors T 0 =2π
2
=0,32 s.
d) F
➞ =–bmv
➞
. best en s –1 .
e) On aalors my ·· =–2ky – bmy · .
y
·· + by · +
y =0.
L’équation caractéristique associée est :
r 2 + br += 0.
Δ = b 2 –
m pourra osciller si Δ 0, soit b b min =2 2 =40s –1 .
2 • Modélisationd’un dispositif expérimental
a)
Àl’équilibre:
mg
➞ + F
➞ + R
➞ =0
➞
.
b) En projection sur l’axe des x,ona:–mg sin a + F =0.
On se place dans l’approximation des petits angles :
sin a ≈ a ≈ .
On aalors : k
n = mg .
x 0
x e
h
L
2k
m
5
h
L
x
y m g
y F
y R
2k
m
8k
m
2k
m
m
2k
y
y
O
m
– L O
L O
m
2α
2α
m
2α
m
d 2 y
dt 2
d 2 y
dt 2
1
2
CORRIGÉS
Oscillateurs
4
53
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
1 • Le point matérielest soumis à:
–son poids P
➞ = mg
➞ = mg (cosq e
➞
r –sinq e
➞
q );
–latraction du fil T
➞ = Te
➞
r (radiale pour un fil idéal);
–laforce du frottement f
➞ =–av
➞
=–a
.
q e
e
➞
q .
La relation fondamentale de la dynamique s’écrit :
ma
➞ = P
➞ + T
➞ + f
➞ ,
en projection sur e
➞
q on obtient m ¨
q = – mg sinq – a
·
q.
Si on se limite aux petits angles, cette équation devient :
m ¨
q + a
·
q + mgq = 0.
On peut la mettre sous la forme :
++ w 2
0 q =0,où= ,
soit :
t =e t w 0 =
1
.
t est la durée caractéristique de l’amortissement.
2 • On obtient un régime pseudo-périodique si le discriminant de l’équation caractéristique est négatif,c’est-à-dire si :
– w 2
0 0, doncsi w 0 t>1.
La pseudo-pulsation est :
w =
8
w 2
0 –= w 0 9
1–
.
et la pseudo-période T =.
q ( t )e st de la forme :
q (t)=exp
–
(A cos(w t)+Bsin(w t)),
donc :
q (t + T)=exp
–
q (t)e td =ln
=,
3 • a) Pour déterminer d ,onutilise les points B et C :
d =ln =ln =0,11.
b)Entre les points A et D ,oncompte sept pseudo-périodes,
d’où :
T == 1,1 s.
c) t == 10,1 s.
d) a == 9,3.10 –2 N.m –1 .s.
2m
t
T
d
t D – t A
7
8,95
8,02
q B
q C
T
t
q (t)
q (t + T )
T
t
t
t
2π
w
1
(w 0 t) 2
1
t 2
1
t 2
a
m
2
t
dq
d t
2
t
d 2 q
d t 2
2m
a
g
4
Modélisation d’un oscillateur
1 • Étude énergétique d’unoscillateur :
a) F
➞ =–grad
— ➞ E p .
Si F
➞ =–kx u
➞
x
E p = kx 2 ,àune constante additive près.
b) E p (y)=E 0 +α(y–Y 0 ) 2 donne F
➞ =–2α(y–y 0 )u
➞
y
Le principe fondamental de la dynamiqueappliqué àlamasse
m dans galiléen s’écrit :
mu
➞
y =–2α(y–y 0 )u
➞
y .
Soit
+
y =
y 0 .
On obtient l’équation d’un oscillateur harmonique de période
T =2π
2
.
La force totale agissant sur m est :
F
➞ =–ky u
➞
y – k(L 0 – y – L 0 )(– u
➞
y ).
F
➞ =–2ky u
➞
y .
E p (y)=ky 2 .O naalors T 0 =2π
2
=0,32 s.
d) F
➞ =–bmv
➞
. best en s –1 .
e) On aalors my ·· =–2ky – bmy · .
y
·· + by · +
y =0.
L’équation caractéristique associée est :
r 2 + br += 0.
Δ = b 2 –
m pourra osciller si Δ 0, soit b b min =2 2 =40s –1 .
2 • Modélisationd’un dispositif expérimental
a)
Àl’équilibre:
mg
➞ + F
➞ + R
➞ =0
➞
.
b) En projection sur l’axe des x,ona:–mg sin a + F =0.
On se place dans l’approximation des petits angles :
sin a ≈ a ≈ .
On aalors : k
n = mg .
x 0
x e
h
L
2k
m
5
h
L
x
y m g
y F
y R
2k
m
8k
m
2k
m
m
2k
y
y
O
m
– L O
L O
m
2α
2α
m
2α
m
d 2 y
dt 2
d 2 y
dt 2
1
2
CORRIGÉS
Oscillateurs
4
53
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.