2 • L’amplitude, proportionnelle àe xp – ,e st divisée
par e au bout du temps t =
2
w
Q
0
,soit au bout de n périodes.
n =
== 40.
Cette valeur élevée est bien la marque d’un oscillateurfaiblement amorti.
3 • Après Q oscillations,l’amplitude est égale à:
x(t)=x 0 exp – t x 0 exp – Q .
Soit :
x(t) x 0 exp(– π) 0,043 x 0 .
Remarque :Lenombred’oscillations «accessibles »ou«visibles »donne, avec une bonne précision, la valeur du facteur de
qualité d’un oscillateur amorti.
Oscillateur harmonique amorti
par frottementsolide
1 • Le coefficient de frottement f n’a pas de dimension.
2 • Àl’abscisse x 0 ,lepoint M est soumis :
–àson poids et àlaréaction normale du support, qui se compensent : N
➞ = mg ;
–àlaréaction tangentielle T
➞ = Te
➞
x ;
–àlaforce de rappel du ressort F
➞ =–kx 0 e
➞
x .
L’accélération peut être nulle si T = kx 0 .Ceci n’est possible
que pour T fmg,donc pour x 0
= a .
3 • Le rappel du ressort l’emporte initialement sur la réaction
tangentielle, et le point M glisse dans le sens des x décroissants, donc T =+fmg,etl’équation du mouvement est :
m¨ x =–kx + fmg.
Le point M quitte l’abscisse x 0 a avec une vitesse nulle,
donc :
x(t)=(x 0 –a)cos(w 0 t)+a,avec w 0 =
1
.
Le point M s’arrête ànouveau à t ==,(une demipériode), àl’abscisse x 1 =–x 0 +2a.
4•L’équilibre en x 1 est impossible si x 1 – a,soit x 0 3a .
Dans ces conditions, le rappel du ressort l’emporte sur le frottement et le point M repart dans le sens des x croissants, avec
T =–fmg,soit :
m¨ x =–kx – fmg
dont la solution pour
t T 0 est :
x(t)=(x 1 +a)cos w 0 t – – a =(x 0 –3a)cos(w 0 t)–a.
Cette phase se prolonge jusqu’à t = T 0 ,àl’abscisse :
x 2 = x 0 –4a.
w 0 t
2Q
T 0
2
3
T 0
2
π
w 0
T 0
2
k
m
fmg
k
2π
w 0
w 0
2Q
w 0
2Q
2Q
2π
t
T 0
t
T
5•Les points d’arrêt successifs sont donnés par :
x 0 , x 1 =–x 0 +2a,x 2 =x 0 –4a,x 3 =–x 0 +6a,x 4 =x 0 –8a,etc .
L’arrêt définitif sera obtenu après n demi-oscillations, lorsque
x n a est vérifié pour la première fois.
L’évolution de la position x(t)e st constituée d’un ensemble
de demi-oscillations harmoniques, de même «d emi-périodes », centrées en x =–a àladescente, en x =+a àlamontée. L’évolution des élongations successives est en progression arithmétique de pas égal à4 a.
La trajectoire de phase est constituée, dans le plan x, ,
d’un ensemble de demi-cercles successivement centrés en
(– a,0)e ten( +a ,0).
Doc. 2. Trajectoiredephase.
4a
x
v
w 0
Doc. 1. Évolution x(t).
4a
x(t)
zone d'équilibre
t
·
x
w 0
CORRIGÉS
Oscillateurs
4
52
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
par e au bout du temps t =
2
w
Q
0
,soit au bout de n périodes.
n =
== 40.
Cette valeur élevée est bien la marque d’un oscillateurfaiblement amorti.
3 • Après Q oscillations,l’amplitude est égale à:
x(t)=x 0 exp – t x 0 exp – Q .
Soit :
x(t) x 0 exp(– π) 0,043 x 0 .
Remarque :Lenombred’oscillations «accessibles »ou«visibles »donne, avec une bonne précision, la valeur du facteur de
qualité d’un oscillateur amorti.
Oscillateur harmonique amorti
par frottementsolide
1 • Le coefficient de frottement f n’a pas de dimension.
2 • Àl’abscisse x 0 ,lepoint M est soumis :
–àson poids et àlaréaction normale du support, qui se compensent : N
➞ = mg ;
–àlaréaction tangentielle T
➞ = Te
➞
x ;
–àlaforce de rappel du ressort F
➞ =–kx 0 e
➞
x .
L’accélération peut être nulle si T = kx 0 .Ceci n’est possible
que pour T fmg,donc pour x 0
= a .
3 • Le rappel du ressort l’emporte initialement sur la réaction
tangentielle, et le point M glisse dans le sens des x décroissants, donc T =+fmg,etl’équation du mouvement est :
m¨ x =–kx + fmg.
Le point M quitte l’abscisse x 0 a avec une vitesse nulle,
donc :
x(t)=(x 0 –a)cos(w 0 t)+a,avec w 0 =
1
.
Le point M s’arrête ànouveau à t ==,(une demipériode), àl’abscisse x 1 =–x 0 +2a.
4•L’équilibre en x 1 est impossible si x 1 – a,soit x 0 3a .
Dans ces conditions, le rappel du ressort l’emporte sur le frottement et le point M repart dans le sens des x croissants, avec
T =–fmg,soit :
m¨ x =–kx – fmg
dont la solution pour
t T 0 est :
x(t)=(x 1 +a)cos w 0 t – – a =(x 0 –3a)cos(w 0 t)–a.
Cette phase se prolonge jusqu’à t = T 0 ,àl’abscisse :
x 2 = x 0 –4a.
w 0 t
2Q
T 0
2
3
T 0
2
π
w 0
T 0
2
k
m
fmg
k
2π
w 0
w 0
2Q
w 0
2Q
2Q
2π
t
T 0
t
T
5•Les points d’arrêt successifs sont donnés par :
x 0 , x 1 =–x 0 +2a,x 2 =x 0 –4a,x 3 =–x 0 +6a,x 4 =x 0 –8a,etc .
L’arrêt définitif sera obtenu après n demi-oscillations, lorsque
x n a est vérifié pour la première fois.
L’évolution de la position x(t)e st constituée d’un ensemble
de demi-oscillations harmoniques, de même «d emi-périodes », centrées en x =–a àladescente, en x =+a àlamontée. L’évolution des élongations successives est en progression arithmétique de pas égal à4 a.
La trajectoire de phase est constituée, dans le plan x, ,
d’un ensemble de demi-cercles successivement centrés en
(– a,0)e ten( +a ,0).
Doc. 2. Trajectoiredephase.
4a
x
v
w 0
Doc. 1. Évolution x(t).
4a
x(t)
zone d'équilibre
t
·
x
w 0
CORRIGÉS
Oscillateurs
4
52
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La photocopie non autorisée est un délit.