Associations de ressorts
Premier cas :L ar elation fondamentale de la dynamique
appliquée àlamasse m s’écrit, en projection surl’axe:
(Ox):m¨ x=–k 2 ( 2 – 02 ).
Il reste àe xprimer 2 en fonctiond el ap osition x de la
masse m (l’origine de l’axe est prise en O ,p oint d’attache
du premier ressort). Pour cela, on applique la relationfondamentale de la dynamique au point matériel sans masse A :
0 = – k 1 ( 1 – 10 )+k 2 ( 2 – 20 ).
On en déduit
d’où :
soit :
avec L 0 = 01 + 02 .
L’équation du mouvement est donc :
m
··
x =( x – L 0 ).
La masse décrit bien un mouvement périodique de période :
T =2π
9
.
L’association des deux ressortse ns érie est équivalente àun
ressort unique de raideur K =( et de longueur àvide
01 + 02 ).
Second cas :Larelation fondamentale de la dynamiqueappliquée àlamasse m s’écrit, en projection sur l’axe (Ox):
m¨ x=–k 1 ( 1 – 01 )+k 2 ( 2 – 02 )
= – k 1 (x – 01 )+k 2 (L–x– 02 ),
avec L longueur totale du système
soit : m¨ x =–(k 1 +k 2 )(x – L 0 )avec L 0 =
.
La masse décrit bien un mouvement périodique de période :
T =2π
6
.
L’association de ces deux ressorts en parallèle est équivalente
àunressort unique de raideur K = k 1 + k 2 .
Les ressorts s’associent en série ou en parallèle comme les
conductances ou comme les capacités (cf. H-Prépa, Tout en
un, 1
re
année).
2 − 20 ),
m
k 1 + k 2
k 1 k 2
k 1 + k 2
m(k 1 + k 2 )
k 1 k 2
– k 1 k 2
k 1 + k 2
1
(k 1 01 – k 2 02 + k 2 L)
(k 1 + k 2 )
2 − 20 =
k 1
k 1 + k 2
(x − L 0 ),
x = 1 + 2 = 1 +
k 2
k 1
2 + 10 −
k 2
k 1
20 ,
1 = 10 +
k 2
k 1
(
Remarque :O np eut aussi associer les ressorts en parallèle
de la façon suivante;les résultats sont équivalents:
K=k 1 +k 2 et L 0 =
.
Oscillateur amorti de facteur
de qualitéélevé
1 • Pour un oscillateur harmonique dont l’équation d’évolution est :
m¨ x + kx=0 ou ¨
x + w 0
2 x =0 avec w 0 =
1
l’énergie est : = kx m
2 = mw 0
2 x m
2 ,
où x m est l’amplitude d’oscillation.
Pour l’oscillateur faiblement amorti, l’équation du mouvement est :
¨
x +
x · + w 0
2 =0
dont la solution est de la forme :
x(t)=x 0 exp – cos(w t + j)
avec w = w 0 5
1–
.
L’énergie diminue donc, sur une période, d’un facteur:
exp – . qui vaut ici 1–5%.Onadonc :
5%
car w w 0 .
Le facteur de qualité, élevé, vaut Q 126.
Les pseudo-fréquence et fréquence propre diffèrent alors, en
valeur relative,de:
=
= 5
1–
–1 8 . 10 –6 .
Cet écart relatif est ici négligeable.
k 1 01 + k 2 02
k 1 + k 2
2
1
8Q 2
1
4Q 2
w – w 0
w 0
f – f 0
f 0
2π
5%
2π
Q
w 0
w
2π
Q
2π
w
w 0
Q
1
4Q 2
w 0 t
2Q
w 0
Q
1
2
1
2
k
m
m
k 1
k 2
51
Corrigés
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
Premier cas :L ar elation fondamentale de la dynamique
appliquée àlamasse m s’écrit, en projection surl’axe:
(Ox):m¨ x=–k 2 ( 2 – 02 ).
Il reste àe xprimer 2 en fonctiond el ap osition x de la
masse m (l’origine de l’axe est prise en O ,p oint d’attache
du premier ressort). Pour cela, on applique la relationfondamentale de la dynamique au point matériel sans masse A :
0 = – k 1 ( 1 – 10 )+k 2 ( 2 – 20 ).
On en déduit
d’où :
soit :
avec L 0 = 01 + 02 .
L’équation du mouvement est donc :
m
··
x =( x – L 0 ).
La masse décrit bien un mouvement périodique de période :
T =2π
9
.
L’association des deux ressortse ns érie est équivalente àun
ressort unique de raideur K =( et de longueur àvide
01 + 02 ).
Second cas :Larelation fondamentale de la dynamiqueappliquée àlamasse m s’écrit, en projection sur l’axe (Ox):
m¨ x=–k 1 ( 1 – 01 )+k 2 ( 2 – 02 )
= – k 1 (x – 01 )+k 2 (L–x– 02 ),
avec L longueur totale du système
soit : m¨ x =–(k 1 +k 2 )(x – L 0 )avec L 0 =
.
La masse décrit bien un mouvement périodique de période :
T =2π
6
.
L’association de ces deux ressorts en parallèle est équivalente
àunressort unique de raideur K = k 1 + k 2 .
Les ressorts s’associent en série ou en parallèle comme les
conductances ou comme les capacités (cf. H-Prépa, Tout en
un, 1
re
année).
2 − 20 ),
m
k 1 + k 2
k 1 k 2
k 1 + k 2
m(k 1 + k 2 )
k 1 k 2
– k 1 k 2
k 1 + k 2
1
(k 1 01 – k 2 02 + k 2 L)
(k 1 + k 2 )
2 − 20 =
k 1
k 1 + k 2
(x − L 0 ),
x = 1 + 2 = 1 +
k 2
k 1
2 + 10 −
k 2
k 1
20 ,
1 = 10 +
k 2
k 1
(
Remarque :O np eut aussi associer les ressorts en parallèle
de la façon suivante;les résultats sont équivalents:
K=k 1 +k 2 et L 0 =
.
Oscillateur amorti de facteur
de qualitéélevé
1 • Pour un oscillateur harmonique dont l’équation d’évolution est :
m¨ x + kx=0 ou ¨
x + w 0
2 x =0 avec w 0 =
1
l’énergie est : = kx m
2 = mw 0
2 x m
2 ,
où x m est l’amplitude d’oscillation.
Pour l’oscillateur faiblement amorti, l’équation du mouvement est :
¨
x +
x · + w 0
2 =0
dont la solution est de la forme :
x(t)=x 0 exp – cos(w t + j)
avec w = w 0 5
1–
.
L’énergie diminue donc, sur une période, d’un facteur:
exp – . qui vaut ici 1–5%.Onadonc :
5%
car w w 0 .
Le facteur de qualité, élevé, vaut Q 126.
Les pseudo-fréquence et fréquence propre diffèrent alors, en
valeur relative,de:
=
= 5
1–
–1 8 . 10 –6 .
Cet écart relatif est ici négligeable.
k 1 01 + k 2 02
k 1 + k 2
2
1
8Q 2
1
4Q 2
w – w 0
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2π
5%
2π
Q
w 0
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2π
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2π
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4Q 2
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Q
1
2
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2
k
m
m
k 1
k 2
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Corrigés
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.