©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
Que peut-on dire du comportement asymptotique du système ?
Les oscillations peuvent-elles être harmoniques ?
3 • On se place désormais dans le cas où le régime limite
est pratiquement sinusoïdal :1 /Q, noté e,s era traité
comme un infiniment petit d’ordre 1d ans les calculs qui
suivront, et on cherche une solution presque sinusoïdale
de la forme :
x(t)=x 0 [Acos(w 0 t)+B(t)].
La «c orrection » B(t)s era traitéec omme un infiniment
petit d’ordre 1ene.
a) D’après les simulations, quelle est la valeur de A ?
b) Déduire de l’équation du mouvement, développée à
l’ordre 1ene,l’équation d’évolution de B(t).
c) La solution B(t)é tant stable au vu des simulations,
exprimer la solution obtenue en régime permanent établi,
et la solution complète (mais approchée) x(t).
Quels sont les harmoniques du signal mis en évidence
danscette étude ?
b) Pour Q =1 0, 1o u1 /3, àp artir d’autres conditions
initiales, on ar eprésenté les trajectoires de phase de
l’oscillateur (doc. 2)dans le plan , .
o
o
1
Q = 10
Q = 1
Q = 1
3
1
1
1
– 1
– 1
4
2
o
– 1
– 1
2
– 2
– 2–11 23
– 4
2
1
– 2,1
– 1,4
– 0,7
0
t
0,7
1,4
2,1
2,8
3,5
4,2
0,1
4
246810
Doc. 1
x
x 0
.
x
w 0 x 0
Doc. 2
EXERCICES
Oscillateurs
4
50
Conseils
1) Rechercher les racines de l’équation caractéristique et en déduire la convergence ou la divergence
des évolutions correspondantessuivant le signe de Q.
2) On remarquera un comportementq ui semble
périodique au bout d’un temps «s uffisamment »
long.
3)a) et b) Une lecture rapide des simulations donne
une valeur approchée de A ;c ette valeur sera confirmée lors de la recherche de l’équationd ifférentielle
vérifié par B(t):l es termes d’ordre 0d oivent disparaître,etseuls les termes d’ordre 1eneou B doivent
rester.
c) La solution de l’équation différentielle précédente
en B(t)fait apparaître deuxharmoniques w 0 et 3w 0 .