©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
4 • On souhaite que le déplacement X m varie (à Y m
donné) au plus de 10 %s ur une plage de fréquencea ussi
large que possible. Quelle valeur faut-il donner au facteur
de qualité de l’oscillateur pour réaliser cette condition ?
Oscillateur paramétrique
Un pendule simple (doc. 1)constitué d’un fil inextensible
de masse négligeable et d’un point matériel M de masse
m est accroché au point O,mobile le long de l’axe vertical (Ox).
1 • Le point O est immobile : D(t)=0.
Quelle est l’équation du mouvement du pendule ?Q uelle
est la pulsation propre w 0 des petites oscillations ?
2 • Le point O est animé d’un mouvement oscillant :
D(t)=D m coswt .
a) Établir l’équation du mouvement :
¨
q + w 0
2 (1 + h(t)) sinq =0,
en précisant l’expression de h(t).
b) En supposant l’angle q petit, et l’excitation très faible,
montrer que l’oscillateur harmonique risque d’entrer en résonance si on donne àlapulsation w une valeur particulière.
c) La résolution numérique de l’équation donne,p our
w =2w 0 ,lerésultat ci-après (doc. 2).
9
Doc. 1
q
M
D(t)
t e r
t e q
t g
O
y
O
x
Commenter.Onessaiera en particulier d’interpréter les battements de l’amplitude d’oscillation qui sont observés.
*Système auto-excité:
oscillateur de Vander Pol
1 • Préliminaire
Soit un oscillateur régi par l’équation d’évolution :
¨
x +
.
x + w 0
2 x =0enrégime libre.
a) Lorsque Q 0, quel comportement limite (t → )peuton attendrep our l’oscillateur évoluant àp artir de conditions initiales apriori quelconques ?
b) Qu’en est-il pour Q 0?
c) Quel est le cas limite séparant ces deux comportements ?
2 • On s’intéresse àl’oscillateur de Va nder Pol, dont l’équation différentielle d’évolution est :
¨
x +
–1
.
x+w 0
2 x=0.
(Les simulations sont données pour x 0 =1etw 0 =1rad . s
–1
.)
a) Lâché sans vitesse initiale pour x(0) =0 ,1 ou 4, pour
Q =5,l’évolutiondusystème est représentéesur le document 1.
Commenter qualitativement ces résultats.
Doc. 2
(t)
θ
0,8
0,6
0,4
0,2
0
– 0,2
– 0,4
– 0,6
– 0,8
10
20
30
40
50
t (s)
w 0
Q
x
2
x 0
2
w 0
Q
10
EXERCICES
Oscillateurs
4
49
Conseils
1) Écrire l’équation du mouvement, en utilisant
cos q 1e ts in q q àl ’ordre d’approximation
linéaire.
2) et 3) Le régime sinusoïdal forcé est établi, utiliser
la notation complexe accélèrelarecherche de la solution x(t)correspondante.
4) Utiliser l’allure des courbes de réponse X m (w)
possibles pour choisir le bon cas de figure àutiliser.
Conseils
1) Projeter convenablement l’équation donnée par la
relation fondamentale de la dynamique.
2) a) Faire de même en tenant compte du mouvement
de O.
b) Mettre l’équation sous la forme d’une équation
d’oscillateur avec second membre excitateur.
c) Les oscillations du pendule sont-elles isochrones
pour toutes les valeurs de son amplitude d’oscillation ?
La photocopie non autorisée est un délit.
4 • On souhaite que le déplacement X m varie (à Y m
donné) au plus de 10 %s ur une plage de fréquencea ussi
large que possible. Quelle valeur faut-il donner au facteur
de qualité de l’oscillateur pour réaliser cette condition ?
Oscillateur paramétrique
Un pendule simple (doc. 1)constitué d’un fil inextensible
de masse négligeable et d’un point matériel M de masse
m est accroché au point O,mobile le long de l’axe vertical (Ox).
1 • Le point O est immobile : D(t)=0.
Quelle est l’équation du mouvement du pendule ?Q uelle
est la pulsation propre w 0 des petites oscillations ?
2 • Le point O est animé d’un mouvement oscillant :
D(t)=D m coswt .
a) Établir l’équation du mouvement :
¨
q + w 0
2 (1 + h(t)) sinq =0,
en précisant l’expression de h(t).
b) En supposant l’angle q petit, et l’excitation très faible,
montrer que l’oscillateur harmonique risque d’entrer en résonance si on donne àlapulsation w une valeur particulière.
c) La résolution numérique de l’équation donne,p our
w =2w 0 ,lerésultat ci-après (doc. 2).
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Doc. 1
q
M
D(t)
t e r
t e q
t g
O
y
O
x
Commenter.Onessaiera en particulier d’interpréter les battements de l’amplitude d’oscillation qui sont observés.
*Système auto-excité:
oscillateur de Vander Pol
1 • Préliminaire
Soit un oscillateur régi par l’équation d’évolution :
¨
x +
.
x + w 0
2 x =0enrégime libre.
a) Lorsque Q 0, quel comportement limite (t → )peuton attendrep our l’oscillateur évoluant àp artir de conditions initiales apriori quelconques ?
b) Qu’en est-il pour Q 0?
c) Quel est le cas limite séparant ces deux comportements ?
2 • On s’intéresse àl’oscillateur de Va nder Pol, dont l’équation différentielle d’évolution est :
¨
x +
–1
.
x+w 0
2 x=0.
(Les simulations sont données pour x 0 =1etw 0 =1rad . s
–1
.)
a) Lâché sans vitesse initiale pour x(0) =0 ,1 ou 4, pour
Q =5,l’évolutiondusystème est représentéesur le document 1.
Commenter qualitativement ces résultats.
Doc. 2
(t)
θ
0,8
0,6
0,4
0,2
0
– 0,2
– 0,4
– 0,6
– 0,8
10
20
30
40
50
t (s)
w 0
Q
x
2
x 0
2
w 0
Q
10
EXERCICES
Oscillateurs
4
49
Conseils
1) Écrire l’équation du mouvement, en utilisant
cos q 1e ts in q q àl ’ordre d’approximation
linéaire.
2) et 3) Le régime sinusoïdal forcé est établi, utiliser
la notation complexe accélèrelarecherche de la solution x(t)correspondante.
4) Utiliser l’allure des courbes de réponse X m (w)
possibles pour choisir le bon cas de figure àutiliser.
Conseils
1) Projeter convenablement l’équation donnée par la
relation fondamentale de la dynamique.
2) a) Faire de même en tenant compte du mouvement
de O.
b) Mettre l’équation sous la forme d’une équation
d’oscillateur avec second membre excitateur.
c) Les oscillations du pendule sont-elles isochrones
pour toutes les valeurs de son amplitude d’oscillation ?