©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
2. 6. Étude fréquentielle
On souhaite maintenant étudier l’amplitude des oscillations en fonction de la vitesse de la voiture. Pour cela, on
étudie donc en fonction de w.
2. 6. a) Tracer l’allure du diagramme de Bode relatif à.
2. 6. b) w r ,valeur de w pour laquelle l’amplitude est maximale, est de l’ordre de grandeur de w 0 .Quelle est la valeur
de v correspondante ?calculer l’amplitude des oscillations
du véhicule pour w = w 0 .
2. 7. Application
Dans le film «L es alaire de la peur », Yv es Montand
conduit un camion (w 0 ≈ 25 s
–1
)chargé de nitroglycérine.
Il passe sur une tôle ondulée de période spatiale 1me t
pour laquelle A =10cm. Afin d’éviter l’explosion du chargement il doit traverserl at ôle àu ne vitesse inférieureà
5km/h ou supérieure à50km/h. Justifier qualitativement
ceci àl’aidedes résultats précédents.
*Réponse harmonique stabilisée
Le pendule simple de masse m représenté sur la figure
(doc. 1)est lié par deux ressorts identiques de raideur k et
longueur 0 àvide.
Au repos, l’abscisse x est nulle lorsque y =0.
On fera l’approximation des petits angles pour étudier le
mouvement.
1 • Quelle est la pulsation propre w 0 du système ?
2 • Le point A est mobile, animé d’un mouvement sinusoïdal, se déplaçant de y(t)=Y m cos wt par rapport às a
position fixe précédente. On note
2
=.
En supposant qu’un régime permanent est établi, déterminer l’amplitude X m du mouvement de M ,etledéphasage j de son déplacement x(t)par rapport au déplacement
y(t)dupoint A.Tracer les variations de X m et j en fonction de w .
3 • Discuter la modification des résultats lorsqu’on tient
compte d’un amortissement du pendule, couplé avec une
palette plongeant dans un liquide, àl ’origine d’une force
de frottement F
➞ =–h
.
xe
➞
x .
Z
A
Z
A
8
M
g
A
y( t )
x( t )
q
( k, 0 )( k, 0 )
k
m
On étudie le mouvement par rapport àl ap osition d’équilibre établie précédemment. On posera z = z G – z G eq .
1. 2. a) Établir l’expression de l’énergie potentielle de
pesanteur.
1. 2. b) Établir l’expression de l’énergie potentielle élastique.
Les énergies potentielles seront exprimées en fonction de
z et àune constante additive près.
1. 2. c) Appliquer le théorème de l’énergie cinétique àl a
masse et en déduire l’équation différentielle en z caractéristique du mouvement.
1. 2. d) Dessiner,qualitativement, les allures envisageables
de la fonction z(t). (la résolution de l’équation différentielle n’est pas demandée).
2 • La route est ondulée (fig. 2)
Le véhicule se déplace àlavitesse horizontale v sur un sol
ondulé. L’ondulation est assimiléeàu ne sinusoïde de
période spatiale L et d’amplitude A. z O peut alors s’écrire
z O = R + A cos w t.
On étudie maintenant le mouvement par rapportàlaposition d’équilibre établie précédemment.
On posera z = z G – z G eq .
Pour les applications numériqueso np rendra L =1m;
A=10cm.
2. 1. Quelle est l’unité de λ ?
2. 2. Exprimer w en fonction de v et L.Vérifier l’homogénéité du résultat.
2. 3. En appliquant le principe fondamental de la dynamique àl am asse M dans le référentiel terrestre supposé
galiléen, établir l’équation différentielle en z régissant le
mouvement.
2. 4. Justifier qualitativement le fait que l’on recherche la
solution z(t)d ec ette équation différentielle sous une
forme sinusoïdale z(t)=z max .cos (ωt + φ).
2. 5. Résolution par la méthode des complexes
On pose z = Z .e
iωt
,réponse complexeduvéhicule àl’excitation sinusoïdale et z O – R = Ae
jωt
.
2. 5. a) Montrer que
=
a vec j le
complexe tel que j 2 =–1puis que l’on peut mettre sous la
forme
=
=
;Exprimer alors w 0 ,
w 1 et Q en fonction de k, l et M.
2. 5. b) Calculer numériquement w 0 , w 1 et Q.N ’oubliez
pas les unités.
2. 5. c) Donner l’expression du module en fonction de
w 0 , w 1 et Q.
Z
A
H 1
H 2
1+j
1–
+j
w
w 1
w
Qw 0
w 2
w 2
0
Z
A
+j
–w 2 +jw +
wl
M
k
M
k
M
l
M
Z
A
EXERCICES
Oscillateurs
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La photocopie non autorisée est un délit.
2. 6. Étude fréquentielle
On souhaite maintenant étudier l’amplitude des oscillations en fonction de la vitesse de la voiture. Pour cela, on
étudie donc en fonction de w.
2. 6. a) Tracer l’allure du diagramme de Bode relatif à.
2. 6. b) w r ,valeur de w pour laquelle l’amplitude est maximale, est de l’ordre de grandeur de w 0 .Quelle est la valeur
de v correspondante ?calculer l’amplitude des oscillations
du véhicule pour w = w 0 .
2. 7. Application
Dans le film «L es alaire de la peur », Yv es Montand
conduit un camion (w 0 ≈ 25 s
–1
)chargé de nitroglycérine.
Il passe sur une tôle ondulée de période spatiale 1me t
pour laquelle A =10cm. Afin d’éviter l’explosion du chargement il doit traverserl at ôle àu ne vitesse inférieureà
5km/h ou supérieure à50km/h. Justifier qualitativement
ceci àl’aidedes résultats précédents.
*Réponse harmonique stabilisée
Le pendule simple de masse m représenté sur la figure
(doc. 1)est lié par deux ressorts identiques de raideur k et
longueur 0 àvide.
Au repos, l’abscisse x est nulle lorsque y =0.
On fera l’approximation des petits angles pour étudier le
mouvement.
1 • Quelle est la pulsation propre w 0 du système ?
2 • Le point A est mobile, animé d’un mouvement sinusoïdal, se déplaçant de y(t)=Y m cos wt par rapport às a
position fixe précédente. On note
2
=.
En supposant qu’un régime permanent est établi, déterminer l’amplitude X m du mouvement de M ,etledéphasage j de son déplacement x(t)par rapport au déplacement
y(t)dupoint A.Tracer les variations de X m et j en fonction de w .
3 • Discuter la modification des résultats lorsqu’on tient
compte d’un amortissement du pendule, couplé avec une
palette plongeant dans un liquide, àl ’origine d’une force
de frottement F
➞ =–h
.
xe
➞
x .
Z
A
Z
A
8
M
g
A
y( t )
x( t )
q
( k, 0 )( k, 0 )
k
m
On étudie le mouvement par rapport àl ap osition d’équilibre établie précédemment. On posera z = z G – z G eq .
1. 2. a) Établir l’expression de l’énergie potentielle de
pesanteur.
1. 2. b) Établir l’expression de l’énergie potentielle élastique.
Les énergies potentielles seront exprimées en fonction de
z et àune constante additive près.
1. 2. c) Appliquer le théorème de l’énergie cinétique àl a
masse et en déduire l’équation différentielle en z caractéristique du mouvement.
1. 2. d) Dessiner,qualitativement, les allures envisageables
de la fonction z(t). (la résolution de l’équation différentielle n’est pas demandée).
2 • La route est ondulée (fig. 2)
Le véhicule se déplace àlavitesse horizontale v sur un sol
ondulé. L’ondulation est assimiléeàu ne sinusoïde de
période spatiale L et d’amplitude A. z O peut alors s’écrire
z O = R + A cos w t.
On étudie maintenant le mouvement par rapportàlaposition d’équilibre établie précédemment.
On posera z = z G – z G eq .
Pour les applications numériqueso np rendra L =1m;
A=10cm.
2. 1. Quelle est l’unité de λ ?
2. 2. Exprimer w en fonction de v et L.Vérifier l’homogénéité du résultat.
2. 3. En appliquant le principe fondamental de la dynamique àl am asse M dans le référentiel terrestre supposé
galiléen, établir l’équation différentielle en z régissant le
mouvement.
2. 4. Justifier qualitativement le fait que l’on recherche la
solution z(t)d ec ette équation différentielle sous une
forme sinusoïdale z(t)=z max .cos (ωt + φ).
2. 5. Résolution par la méthode des complexes
On pose z = Z .e
iωt
,réponse complexeduvéhicule àl’excitation sinusoïdale et z O – R = Ae
jωt
.
2. 5. a) Montrer que
=
a vec j le
complexe tel que j 2 =–1puis que l’on peut mettre sous la
forme
=
=
;Exprimer alors w 0 ,
w 1 et Q en fonction de k, l et M.
2. 5. b) Calculer numériquement w 0 , w 1 et Q.N ’oubliez
pas les unités.
2. 5. c) Donner l’expression du module en fonction de
w 0 , w 1 et Q.
Z
A
H 1
H 2
1+j
1–
+j
w
w 1
w
Qw 0
w 2
w 2
0
Z
A
+j
–w 2 +jw +
wl
M
k
M
k
M
l
M
Z
A
EXERCICES
Oscillateurs
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