©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
Expliquer pourquoi le document 5 prouve que les oscillations ne sont pas harmoniques.
On donne la courbe u(t)(doc. 6)pour les conditions initiales
u(0) = 0,5 et ·
u(0) = 0.
Placer les points A 1 , A 2 , A 3 et A 4 sur cette dernière figure.
c) Étude de la courbe pour
= 0,1
Commenter et expliquerl ec aractère harmoniqueoun on
des petits mouvements (les courbes tracées sur le document
7 correspondent aux conditions initiales u(0) = 0,05 ,0,1
et 0,2 ,lavitesse initiale étant toujours nulle. Existe-t-il ici
une trajectoire frontière comme pour la courbe correspondant à a = 1,5 ?Pourquoi ?
Données : On rappelle que :
(1 + x) 2 =1+nx +
x 2 ,pour x 1.
.
– 0,2
Portrait de phase de l’équation différentielle :
Doc. 7
– 0,1
– 0,2
– 0,1
0
0,1
0,05
0,2
0,1
1
2π
0,2
u
du
dt
+ 4 π 2 u (1 –
d 2 u
dt
α
1 + u 2
√
) = 0a vec α = 0,1
n(n –1)
2
Étude de la suspension
d’un véhicule
D’après Mines d’Alès, Albi, Douai, Nantes, 2006.
Le véhicule étudié est modélisé par un parallélépipède, de
centre de gravité G et de masse M,r eposant sur une roue
par l’intermédiairedelasuspensiondont l’axe OG reste toujours vertical.
L’ensemble est animé d’une vitesse horizontale v
➞
= v u
➞
x .
La suspension, quant àelle, est modélisée par un ressort de
raideur constante k =1,0. 10 5 N. m –1 (de longueur àvide
l 0 )e tuna mortisseur fluide de constante d’amortissement
constante l =4 ,0. 10 3 U.S.I. La masse de l’ensemble est
M =1000 kg.
La position verticale du véhicule est repéréepar z G dans le
référentiel galiléen proposé ayant son origine sur la ligne
moyenne des déformations du sol. On note z O la cote du
centre de la roue par rapport au niveau moyen de la route.
L’amortissement entre M et la roue introduit une force de
frottement fluide, exercée par l’amortisseur sur M,qui s’écrit :
y F =–l. – .u
➞
z
1•La route est parfaitement horizontale (fig. 1)
1. 1. La route ne présente aucune ondulation et le véhicule
n’a aucun mouvement vertical. Déterminer la position z G eq
de G lorsque le véhicule est au repos.
1. 2. Suite àu ne impulsion soudaine, le véhicule acquiert
un mouvement d’oscillations verticales. On cherche dans
cette question àétablir l’équation différentielle caractéristique du mouvement par une méthode énergétique.
dZ G
dt
dZ O
dt
Fig. 2
La route est ondulée.
M
l
y U Z
Z G
y U X
Z O
G
k
O
R
Fig. 1
La route est parfaitement horizontale.
y U Z
Z O = R
Z G
y U X
M
G
k
l
O
7
EXERCICES
Oscillateurs
4
47
Conseils
1) Utiliser l’expression de l’énergie potentielle élastique d’un ressort.
2) Les trajectoires de phase entourent-elles une ou
plusieurs positions d’équilibre ?Sont-elles elliptiques
(ou circulairess uivant les variablesc hoisies en
abscisses et en ordonnées) ?Une trajectoire de phase
peut-elleformer un 8?
Pour un système conservatif, les trajectoires de phase
sont des trajectoires isoénergétiques,cequi permet de
faire le lien avec la courbe P (x)( on rappelle que
P (x) M ,car K est 0).
La photocopie non autorisée est un délit.
Expliquer pourquoi le document 5 prouve que les oscillations ne sont pas harmoniques.
On donne la courbe u(t)(doc. 6)pour les conditions initiales
u(0) = 0,5 et ·
u(0) = 0.
Placer les points A 1 , A 2 , A 3 et A 4 sur cette dernière figure.
c) Étude de la courbe pour
= 0,1
Commenter et expliquerl ec aractère harmoniqueoun on
des petits mouvements (les courbes tracées sur le document
7 correspondent aux conditions initiales u(0) = 0,05 ,0,1
et 0,2 ,lavitesse initiale étant toujours nulle. Existe-t-il ici
une trajectoire frontière comme pour la courbe correspondant à a = 1,5 ?Pourquoi ?
Données : On rappelle que :
(1 + x) 2 =1+nx +
x 2 ,pour x 1.
.
– 0,2
Portrait de phase de l’équation différentielle :
Doc. 7
– 0,1
– 0,2
– 0,1
0
0,1
0,05
0,2
0,1
1
2π
0,2
u
du
dt
+ 4 π 2 u (1 –
d 2 u
dt
α
1 + u 2
√
) = 0a vec α = 0,1
n(n –1)
2
Étude de la suspension
d’un véhicule
D’après Mines d’Alès, Albi, Douai, Nantes, 2006.
Le véhicule étudié est modélisé par un parallélépipède, de
centre de gravité G et de masse M,r eposant sur une roue
par l’intermédiairedelasuspensiondont l’axe OG reste toujours vertical.
L’ensemble est animé d’une vitesse horizontale v
➞
= v u
➞
x .
La suspension, quant àelle, est modélisée par un ressort de
raideur constante k =1,0. 10 5 N. m –1 (de longueur àvide
l 0 )e tuna mortisseur fluide de constante d’amortissement
constante l =4 ,0. 10 3 U.S.I. La masse de l’ensemble est
M =1000 kg.
La position verticale du véhicule est repéréepar z G dans le
référentiel galiléen proposé ayant son origine sur la ligne
moyenne des déformations du sol. On note z O la cote du
centre de la roue par rapport au niveau moyen de la route.
L’amortissement entre M et la roue introduit une force de
frottement fluide, exercée par l’amortisseur sur M,qui s’écrit :
y F =–l. – .u
➞
z
1•La route est parfaitement horizontale (fig. 1)
1. 1. La route ne présente aucune ondulation et le véhicule
n’a aucun mouvement vertical. Déterminer la position z G eq
de G lorsque le véhicule est au repos.
1. 2. Suite àu ne impulsion soudaine, le véhicule acquiert
un mouvement d’oscillations verticales. On cherche dans
cette question àétablir l’équation différentielle caractéristique du mouvement par une méthode énergétique.
dZ G
dt
dZ O
dt
Fig. 2
La route est ondulée.
M
l
y U Z
Z G
y U X
Z O
G
k
O
R
Fig. 1
La route est parfaitement horizontale.
y U Z
Z O = R
Z G
y U X
M
G
k
l
O
7
EXERCICES
Oscillateurs
4
47
Conseils
1) Utiliser l’expression de l’énergie potentielle élastique d’un ressort.
2) Les trajectoires de phase entourent-elles une ou
plusieurs positions d’équilibre ?Sont-elles elliptiques
(ou circulairess uivant les variablesc hoisies en
abscisses et en ordonnées) ?Une trajectoire de phase
peut-elleformer un 8?
Pour un système conservatif, les trajectoires de phase
sont des trajectoires isoénergétiques,cequi permet de
faire le lien avec la courbe P (x)( on rappelle que
P (x) M ,car K est 0).