©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
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b) Étude de la courbe pour
= 1
Doc. 6
Solution de l’équation différentielle pour a = 1.
– 0,4
– 0,2
0
u
t
2
0,2
0,4
4
Doc. 5
Portrait de phase avec a = 1.
u
α
1
(pour = 1)
2π
du
dt
A 3
A 4
A 1
A 2
0,6
0,2
– 0,3
– 0,9
0,9
– 0,6
0,4
– 0,4
0,3
0
d 2 u
dt 2
91 + u 2
) avec
Doc. 4
Diverses solutions de l’équation différentielle :
=1,5 pour x = 0
– 2
– 1
0
4,5
8,1
1
2
x
t
et x(0) = 2 ; x(0) = 1,4 ; x(0) = ; x(0) = – 1,2.
1
2
3
4
0,9
2,7
6,3
4231
+ 4 π 2 u (1 –
d 2 u
dt 2
α
√1 + u 2
) = 0.
Doc. 3
Portrait de phase de l’équation différentielle :
0,6
0,4
0,2
– 0,6
– 0,4
– 1
1
0
1 2 3 4
1 • Montrer que l’énergie potentielle du point est :
p = kx 2 –2k 0 9a 2 +x 2 +2k 0 a
si on impose P (0) = 0.
On donne (doc. 2)lacourbe représentativede, où :
u =, pour différentesvaleurs de a =:
a =0,a=, a =, a =1 et a =1,5.
Commenter.
2 • On pose W
2
0 =e t T 0 =. En prenant comme
nouvelle unité de temps T 0 ,montrer que l’équation différentielle d’évolution de u s’écrit :
3 • On propose les portraits de phase dans le plan (u,) .
correspondant àdifférentes valeurs du rapport a =.
a) Étude de la courbe pour
= 1,5
Les conditions initialeschoisies sont ·
u(0) =0 et u(0) ≠ 0.
Commenter les mouvements décrits parces trajectoiresdans
le plan de phase (doc. 3)( on se limiteraa ux courbes (1),
(2), (3) et (4)) et les évolutions de u(t)(doc. 4);f aire le
lien avec la courbe P (u).
Placer les positions d’équilibre surlep land ep hase. Que
peut-on dire du point (0 ,0)?
·
u
2π
2p
W 0
2k
m
1
2
1
10
x
a
0
a
d
d
2
2
2
2
41
1
0
u
t
u
u
+
+




=
π
α
–
Doc. 2
2,4
2,0
1,6
1,2
0,8
0,4
0
22 ,4 2,8
– 0,25
1,6
1,2
0,8
0,4
0
(u)
u
α = 0
α = 0,1
α = 1
α = 1,5
u =
3
√
u =
p
ka 2
5
2
√
0
a
P (u)
ka 2
EXERCICES
Oscillateurs
4
46