©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
2 • Modélisation d’un dispositif expérimental
a) On dispose d’un banc àc oussin d’air rectiligne (Ox),
incliné par une cale de hauteur h d’un angle a par rapport
àl’horizontale, selon la figure ci-dessous. Sur ce banc, un
aimant est fixé àl’origine O,etunautre aimant, de masse
m,est fixé sur un palet mobile sans frottement :
Les aimants sont orientés de telle sorte qu’ils se repoussent mutuellement. La possibilité pour m d’osciller autour
d’une position d’équilibrer ésulte de la compétition entre
la répulsion électromagnétique, réduite àu ne force notée
➞
F,p répondérante lorsque les aimants sont proches, et le
poids, qui devient prépondérant lorsque la distance augmente.
Faire un bilan des forces àl’équilibre sur un schéma.
b) Sans connaissances préalablese né lectromagnétisme,
on cherche dans la suite àv érifier si la force électromagnétique agissantd ans cette expérience peut être modélisée par une loi de la forme :
➞
F(x)=k ( x 0 / x )
n
e
➞
x ,a vec
k 0etnentier naturel. Exprimer dans cette hypothèse la
position d’équilibre x e en fonction de x 0 , k, m, g, L, h et n
dans le cas des petits angles (h << L).
NB : cette approximation sera toujours utilisée dans la suite.
c) On mesure x e pour différentescales, puis on représente
ln (h)enfonction de ln (x e /x 0 ). En prenant x 0 =1m,déduire des mesures ainsi représentées ci-dessous les valeurs de
n et de k.
On donne : L =120 cm ; m =189 g;g=9,81 m. s
–2
.
ln (h)enfonction de ln
–2,5
–2
–3
–3,5
–4,5
–5
–3
–2,8
–2,6
–2,4
–2,2
–2
–4
x e
x 0
a
m
x
h
L
O
Valeurs correspondantes :
d) Exprimer littéralement l’énergie potentielletotale E P (x)de
m,àune constante additive près, en fonctiondex,x 0 ,k,m,h,
g,Let n,puis en fonction de x, x 0 , x e , k et n seulement.
e) Lorsqu’on se limite àdes oscillations de faible amplitude autour de la position d’équilibre, on rappelle qu’on peut
utiliser pour l’énergie potentielle un développement de
Taylor d’ordre 2:
E P (x) ≈ E P (x = x e )+
x = x e
En déduire une expression de E P (x ≈ x e )s ous la forme :
K (x – x e )
2
+ cste ;l ed étaild el ac onstante additive
n’est pas demandé, mais on exprimeralaconstante K en fonction de x e , x 0 , k et n.
f )Justifier qu’au voisinage de l’équilibre, la résultantedes
forces subies par m équivaut àune force de rappel élastique
dont on précisera la constante de raideur équivalente.
g) Toutes choses égales par ailleurs,montrer que la période T
des petites oscillations autour de l’équilibree st proportionnelle àune puissance de h que l’on déterminera ;endéduire
une méthode de mesure de n que l’on décrira succinctement.
*Portrait de phased’unoscillateur
pas toujours harmonique
Les deux ressorts sont identiques, ils possèdent une raideur
k et une longueur àvide 0 .Lepoint M ,demasse m ,est
mobile sans frottements sur l’axe horizontal (Ox)(doc.1).
Doc. 1
x
M
A
B
0
a
a
k, 0
k, 0
6
1
2
(x – x e )
2
2
d
2
E P
dx
2
EXERCICES
Oscillateurs
4
45
ln
x e
x 0
ln (h)
–2,19
–4,61
–2,39
–3,91
–2,56
–3,22
–2,63
–2,81
–2,73
–2,53
–2,76
–2,30
–2,81
–2,12
La photocopie non autorisée est un délit.
2 • Modélisation d’un dispositif expérimental
a) On dispose d’un banc àc oussin d’air rectiligne (Ox),
incliné par une cale de hauteur h d’un angle a par rapport
àl’horizontale, selon la figure ci-dessous. Sur ce banc, un
aimant est fixé àl’origine O,etunautre aimant, de masse
m,est fixé sur un palet mobile sans frottement :
Les aimants sont orientés de telle sorte qu’ils se repoussent mutuellement. La possibilité pour m d’osciller autour
d’une position d’équilibrer ésulte de la compétition entre
la répulsion électromagnétique, réduite àu ne force notée
➞
F,p répondérante lorsque les aimants sont proches, et le
poids, qui devient prépondérant lorsque la distance augmente.
Faire un bilan des forces àl’équilibre sur un schéma.
b) Sans connaissances préalablese né lectromagnétisme,
on cherche dans la suite àv érifier si la force électromagnétique agissantd ans cette expérience peut être modélisée par une loi de la forme :
➞
F(x)=k ( x 0 / x )
n
e
➞
x ,a vec
k 0etnentier naturel. Exprimer dans cette hypothèse la
position d’équilibre x e en fonction de x 0 , k, m, g, L, h et n
dans le cas des petits angles (h << L).
NB : cette approximation sera toujours utilisée dans la suite.
c) On mesure x e pour différentescales, puis on représente
ln (h)enfonction de ln (x e /x 0 ). En prenant x 0 =1m,déduire des mesures ainsi représentées ci-dessous les valeurs de
n et de k.
On donne : L =120 cm ; m =189 g;g=9,81 m. s
–2
.
ln (h)enfonction de ln
–2,5
–2
–3
–3,5
–4,5
–5
–3
–2,8
–2,6
–2,4
–2,2
–2
–4
x e
x 0
a
m
x
h
L
O
Valeurs correspondantes :
d) Exprimer littéralement l’énergie potentielletotale E P (x)de
m,àune constante additive près, en fonctiondex,x 0 ,k,m,h,
g,Let n,puis en fonction de x, x 0 , x e , k et n seulement.
e) Lorsqu’on se limite àdes oscillations de faible amplitude autour de la position d’équilibre, on rappelle qu’on peut
utiliser pour l’énergie potentielle un développement de
Taylor d’ordre 2:
E P (x) ≈ E P (x = x e )+
x = x e
En déduire une expression de E P (x ≈ x e )s ous la forme :
K (x – x e )
2
+ cste ;l ed étaild el ac onstante additive
n’est pas demandé, mais on exprimeralaconstante K en fonction de x e , x 0 , k et n.
f )Justifier qu’au voisinage de l’équilibre, la résultantedes
forces subies par m équivaut àune force de rappel élastique
dont on précisera la constante de raideur équivalente.
g) Toutes choses égales par ailleurs,montrer que la période T
des petites oscillations autour de l’équilibree st proportionnelle àune puissance de h que l’on déterminera ;endéduire
une méthode de mesure de n que l’on décrira succinctement.
*Portrait de phased’unoscillateur
pas toujours harmonique
Les deux ressorts sont identiques, ils possèdent une raideur
k et une longueur àvide 0 .Lepoint M ,demasse m ,est
mobile sans frottements sur l’axe horizontal (Ox)(doc.1).
Doc. 1
x
M
A
B
0
a
a
k, 0
k, 0
6
1
2
(x – x e )
2
2
d
2
E P
dx
2
EXERCICES
Oscillateurs
4
45
ln
x e
x 0
ln (h)
–2,19
–4,61
–2,39
–3,91
–2,56
–3,22
–2,63
–2,81
–2,73
–2,53
–2,76
–2,30
–2,81
–2,12