©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
Modélisation d’un oscillateur
D’aprèsMines d’Albi, Alès, Douai, Nantes, 2008.
Soit un point matériel de masse m, en mouvement dans le
champ de pesanteur guniforme.
1 • Étude énergétique d’un oscillateur
a) Définir l’énergie potentielle associée àune force
➞
F.Pour
une force de rappel élastique de constante k,d éterminer
l’expression de l’énergie potentielle en fonction de l’écart
x àlaposition d’équilibre,àune constante additive près.
b) On considère un mouvement conservatif de m sur l’axe
horizontal Oy,a utour d’une position d’équilibre Y 0 ,a vec
l’énergie potentielle E P (y)=E 0 +α.(y–Y 0 )
2
,oùαest une
constante positive. Établir l’équation différentielle du
mouvement et en déduire qu’il s’agit d’oscillations harmoniques dont on précisera l’expression de la période.
c) Application :c onsidérons le dispositif horizontal de la
figure suivante.
Les ressorts sont identiques, de raideur k et de longueur à
vide L 0 ,t andis que les points d’attache sont distants de
2L 0 .
Exprimer E P (y)s iydésigne l’écartàl ap osition d’équilibre, et calculer la période T 0 des oscillations de m si
m =200 getk=40N/m.
d) On envisage l’existence d’un frottement fluide d’intensité proportionnelle àl av itesse de m par rapport àl ’axe du
mouvement :
➞
F =–b.m.v
➞ où b est une constante positive.
Donner la dimension ou l’unité SI de b .
e) Établir l’équation différentielle du mouvement. Quelle
est la valeur numérique maximale de b permettant les
oscillations de m ?
my
5
t
( t )
θ
–8
–6
–4
–2
0
2
4
6
8
10
A
B
C
D
0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 44 ,5 55 ,5 66 ,5 7 7,5 8 8,5 9 9,5 10
Pendulesimple amorti
D’après Mines d’Albi, Douai, Nantes.
On considère un objet M de masse m accroché à
un point fixe O par l’intermédiaire d’un fil inextensible
de longueur et de masse négligeable. L’ensemble est
situé dans le champ de pesanteur terrestre g
➞ = ge
➞
x avec
g =9 ,81 m . s –2 , e
➞
x étant un vecteur unitaire de l’axe
(Ox)v ertical descendant. On note q l’angle orienté
(Ox
— ➞ , OM
— ➞ )=(e
➞
x ,u
➞ )o uu
➞ est le vecteur unitaire colinéaire au vecteur OM
— ➞ .
Lorsqu’on enregistre expérimentalement q(t),onconstate
que l’amplitude de q diminue lentement. On interprète ce
résultat parlaprésence de frottements que l’on modélise
par f
➞ = – av
➞ ,où v
➞ désigne la vitesse du point M et a
une constante positive.
1 • Établir l’équation différentielle du second ordre vérifiée par q .Enselimitant aux petits angles, écrire l’équation sous la forme
++ w
2
0 q =0.
Donner l’expression de t et son interprétation physique.
2 • Àquelle condition obtient-on un régime pseudo-périodique ?Dans le cadre d’un régime pseudo-périodique, calculer la pseudo-pulsation w et la pseudo-période T .
On appelle décrément logarithmique d la quantité :
où T est la pseudo-période et t le temps.
Exprimer d en fonction de T et t .
3 • La figure ci-après représente les variations de q avec
le temps. On précise les coordonnées de quatre points particuliers :
La masse m est égale à470 g. Calculer numériquement, à
partir de ces valeurs, sans oublier les unités :
a) le décrément logarithmique d ; b) la pseudo-période T ;
c) le temps t ; d) la constante a .
dq
dt
2
t
d
2
q
d t
2
4
ln
t
θ
θ
( )
+
( )
tT
EXERCICES
Oscillateurs
4
44
Conseils
Les lois du frottement solide sont non linéaires. On
étudiera alors les cas suivants :
–soit la vitesse est nulle et il faut vérifiersilemobile est en équlibre ;
–soit la vitesse est non nulle, le signe de la vitesse permet alors de définir complètement la force de contact.
Conseils
Appliquer le théorème du moment cinétique en O ou
la relation fondamentale de la dynamique projetée sur
la tangente au mouvement (pour éliminer T
➞
).
points
ABCD
t ( s )0 ,248
1,10
2,20
8,00
q (°)
0,00
8,95
8,02
0,00
La photocopie non autorisée est un délit.
Modélisation d’un oscillateur
D’aprèsMines d’Albi, Alès, Douai, Nantes, 2008.
Soit un point matériel de masse m, en mouvement dans le
champ de pesanteur guniforme.
1 • Étude énergétique d’un oscillateur
a) Définir l’énergie potentielle associée àune force
➞
F.Pour
une force de rappel élastique de constante k,d éterminer
l’expression de l’énergie potentielle en fonction de l’écart
x àlaposition d’équilibre,àune constante additive près.
b) On considère un mouvement conservatif de m sur l’axe
horizontal Oy,a utour d’une position d’équilibre Y 0 ,a vec
l’énergie potentielle E P (y)=E 0 +α.(y–Y 0 )
2
,oùαest une
constante positive. Établir l’équation différentielle du
mouvement et en déduire qu’il s’agit d’oscillations harmoniques dont on précisera l’expression de la période.
c) Application :c onsidérons le dispositif horizontal de la
figure suivante.
Les ressorts sont identiques, de raideur k et de longueur à
vide L 0 ,t andis que les points d’attache sont distants de
2L 0 .
Exprimer E P (y)s iydésigne l’écartàl ap osition d’équilibre, et calculer la période T 0 des oscillations de m si
m =200 getk=40N/m.
d) On envisage l’existence d’un frottement fluide d’intensité proportionnelle àl av itesse de m par rapport àl ’axe du
mouvement :
➞
F =–b.m.v
➞ où b est une constante positive.
Donner la dimension ou l’unité SI de b .
e) Établir l’équation différentielle du mouvement. Quelle
est la valeur numérique maximale de b permettant les
oscillations de m ?
my
5
t
( t )
θ
–8
–6
–4
–2
0
2
4
6
8
10
A
B
C
D
0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 44 ,5 55 ,5 66 ,5 7 7,5 8 8,5 9 9,5 10
Pendulesimple amorti
D’après Mines d’Albi, Douai, Nantes.
On considère un objet M de masse m accroché à
un point fixe O par l’intermédiaire d’un fil inextensible
de longueur et de masse négligeable. L’ensemble est
situé dans le champ de pesanteur terrestre g
➞ = ge
➞
x avec
g =9 ,81 m . s –2 , e
➞
x étant un vecteur unitaire de l’axe
(Ox)v ertical descendant. On note q l’angle orienté
(Ox
— ➞ , OM
— ➞ )=(e
➞
x ,u
➞ )o uu
➞ est le vecteur unitaire colinéaire au vecteur OM
— ➞ .
Lorsqu’on enregistre expérimentalement q(t),onconstate
que l’amplitude de q diminue lentement. On interprète ce
résultat parlaprésence de frottements que l’on modélise
par f
➞ = – av
➞ ,où v
➞ désigne la vitesse du point M et a
une constante positive.
1 • Établir l’équation différentielle du second ordre vérifiée par q .Enselimitant aux petits angles, écrire l’équation sous la forme
++ w
2
0 q =0.
Donner l’expression de t et son interprétation physique.
2 • Àquelle condition obtient-on un régime pseudo-périodique ?Dans le cadre d’un régime pseudo-périodique, calculer la pseudo-pulsation w et la pseudo-période T .
On appelle décrément logarithmique d la quantité :
où T est la pseudo-période et t le temps.
Exprimer d en fonction de T et t .
3 • La figure ci-après représente les variations de q avec
le temps. On précise les coordonnées de quatre points particuliers :
La masse m est égale à470 g. Calculer numériquement, à
partir de ces valeurs, sans oublier les unités :
a) le décrément logarithmique d ; b) la pseudo-période T ;
c) le temps t ; d) la constante a .
dq
dt
2
t
d
2
q
d t
2
4
ln
t
θ
θ
( )
+
( )
tT
EXERCICES
Oscillateurs
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44
Conseils
Les lois du frottement solide sont non linéaires. On
étudiera alors les cas suivants :
–soit la vitesse est nulle et il faut vérifiersilemobile est en équlibre ;
–soit la vitesse est non nulle, le signe de la vitesse permet alors de définir complètement la force de contact.
Conseils
Appliquer le théorème du moment cinétique en O ou
la relation fondamentale de la dynamique projetée sur
la tangente au mouvement (pour éliminer T
➞
).
points
ABCD
t ( s )0 ,248
1,10
2,20
8,00
q (°)
0,00
8,95
8,02
0,00