©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
*Associationsder essorts
Une masse m est reliée de deux façons différentes àdeux
ressorts de raideur k 1 et k 2 ,delongueur àvide 01 et 02 :
Montrer que la masse décrit un mouvement harmonique
de période
dans le premier cas, et
dans le second cas.
En déduire la raideur du ressorté quivalent àl ’ensemble
dans chacun des deux cas. Commenter.
Oscillateur amorti de facteur
de qualitéélevé
Un oscillateur harmonique perd 5%deson énergie mécanique par pseudo-période.
1 • De quel pourcentage sa pseudo-fréquence diffèret-elle de sa fréquence propre f 0 ?E stimer le facteur de
qualité Q de l’oscillateur.
2 • Après combien de pseudo-périodess on amplitude
sera-t-elleégale àd esavaleur initiale ?
3 • Après Q pseudo-périodes, quelle est l’amplitude d’oscillation ?
T
m
kk
=2π
12
+
1
e
2
1
T
mk k
kk
=2
( 1
π
+ 2
12
)
Premier cas
k 2 , 02
m
Second cas
k 1 , 01
A
k 2 , 02
m
O
O
k 1 , 01
*Oscillateur harmoniqueamorti
par frottementsolide
On considère un oscillateur harmonique constitué par un
point matérield em asse m assujetti às ed éplacer en glissant sur l’axe (Ox), rappelé vers la position d’équilibre
x =0par un ressort de raideur k.
Le glissement sur la tige matérialisant l’axe (Ox)s ’accompagne d’un frottement. Ainsi, la réaction R
➞ du support se décompose en une composanten ormale N
➞ (qui
compense ici le poids) et une composante tangentielle T
➞
.
On supposera ce frottement entre solide décrit par les lois
suivantes :
–lepoint M peut être maintenu en place par l’existence de
la réaction tangentielle T
➞
,àc ondition que celle-ci reste
limitée par l’inégalité : T
➞
f N
➞
;
–s ic ette conditionn ’est pas réalisable, alors le point M
glisse, et le frottement est régi par la loi de Coulomb : T
➞
est opposée au glissement, et T
➞
= f N
➞
.
1 • Quelle est la dimension du coefficient de frottement
solide f ?
2 • Le point M étant maintenu immobile àl’abscisse x 0 ,à
quelle condition peut-il yrester si on le libère ?
3 • On suppose cette condition non réalisée, le point M se
mettant àglisser dans le sens des x décroissants. Étudier le
mouvement du point M jusqu’à ce qu’il s’arrête pour la
premièrefois. Préciser l’abscisse x 1 correspondante.
4 • Si le point M ne peut se maintenir immobile en x 1 ,
que se passe-t-il ensuite ?
5 • Généraliser les résultats précédents pour décrire complètement le mouvement du point M .R eprésenter son
évolution x = f (t)a ucours du temps, et donner l’allurede
sa trajectoiredephase.
3
o
N
o R
t v
x
u T
M
43
Exercices
Conseils
Dans les deux cas, appliquer la relation fondamentale de la dynamique, projetée sur l’axe (Ox), àl a
masse m,etlamettre sous la forme mx ·· =–K(x– 0 ).
Faire attention au signe dans l’expression des forces
de rappel des ressorts.
Dans le premierc as, pour exprimer la longueur du
deuxième ressort en fonction de x ,appliquer la relation fondamentale de la dynamique au point sans
masse A (point d’attache des ressorts).
Conseils
Vo ir l’Essentiel sur l’oscillateur amorti.
Déterminer la valeur du facteur de qualité.
L’amortissement pourra être considéré comme faible,
ce que l’on vérifiera avec les résultats obtenus.
La photocopie non autorisée est un délit.
*Associationsder essorts
Une masse m est reliée de deux façons différentes àdeux
ressorts de raideur k 1 et k 2 ,delongueur àvide 01 et 02 :
Montrer que la masse décrit un mouvement harmonique
de période
dans le premier cas, et
dans le second cas.
En déduire la raideur du ressorté quivalent àl ’ensemble
dans chacun des deux cas. Commenter.
Oscillateur amorti de facteur
de qualitéélevé
Un oscillateur harmonique perd 5%deson énergie mécanique par pseudo-période.
1 • De quel pourcentage sa pseudo-fréquence diffèret-elle de sa fréquence propre f 0 ?E stimer le facteur de
qualité Q de l’oscillateur.
2 • Après combien de pseudo-périodess on amplitude
sera-t-elleégale àd esavaleur initiale ?
3 • Après Q pseudo-périodes, quelle est l’amplitude d’oscillation ?
T
m
kk
=2π
12
+
1
e
2
1
T
mk k
kk
=2
( 1
π
+ 2
12
)
Premier cas
k 2 , 02
m
Second cas
k 1 , 01
A
k 2 , 02
m
O
O
k 1 , 01
*Oscillateur harmoniqueamorti
par frottementsolide
On considère un oscillateur harmonique constitué par un
point matérield em asse m assujetti às ed éplacer en glissant sur l’axe (Ox), rappelé vers la position d’équilibre
x =0par un ressort de raideur k.
Le glissement sur la tige matérialisant l’axe (Ox)s ’accompagne d’un frottement. Ainsi, la réaction R
➞ du support se décompose en une composanten ormale N
➞ (qui
compense ici le poids) et une composante tangentielle T
➞
.
On supposera ce frottement entre solide décrit par les lois
suivantes :
–lepoint M peut être maintenu en place par l’existence de
la réaction tangentielle T
➞
,àc ondition que celle-ci reste
limitée par l’inégalité : T
➞
f N
➞
;
–s ic ette conditionn ’est pas réalisable, alors le point M
glisse, et le frottement est régi par la loi de Coulomb : T
➞
est opposée au glissement, et T
➞
= f N
➞
.
1 • Quelle est la dimension du coefficient de frottement
solide f ?
2 • Le point M étant maintenu immobile àl’abscisse x 0 ,à
quelle condition peut-il yrester si on le libère ?
3 • On suppose cette condition non réalisée, le point M se
mettant àglisser dans le sens des x décroissants. Étudier le
mouvement du point M jusqu’à ce qu’il s’arrête pour la
premièrefois. Préciser l’abscisse x 1 correspondante.
4 • Si le point M ne peut se maintenir immobile en x 1 ,
que se passe-t-il ensuite ?
5 • Généraliser les résultats précédents pour décrire complètement le mouvement du point M .R eprésenter son
évolution x = f (t)a ucours du temps, et donner l’allurede
sa trajectoiredephase.
3
o
N
o R
t v
x
u T
M
43
Exercices
Conseils
Dans les deux cas, appliquer la relation fondamentale de la dynamique, projetée sur l’axe (Ox), àl a
masse m,etlamettre sous la forme mx ·· =–K(x– 0 ).
Faire attention au signe dans l’expression des forces
de rappel des ressorts.
Dans le premierc as, pour exprimer la longueur du
deuxième ressort en fonction de x ,appliquer la relation fondamentale de la dynamique au point sans
masse A (point d’attache des ressorts).
Conseils
Vo ir l’Essentiel sur l’oscillateur amorti.
Déterminer la valeur du facteur de qualité.
L’amortissement pourra être considéré comme faible,
ce que l’on vérifiera avec les résultats obtenus.