Le champ magnétique créé en M est donc :
➞
B =
e
➞
r +
e
➞
q
=
e
➞
r +
e
➞
q
C) Force d’interaction entre les bobines
1 •
➞
F 1 → 2 = Ú
O, I 2 o
o
d 2 ∧
➞
B 1 avec o
o
o
o
d 2 = R 2 dj e
➞
j
= N 2 I 2
2π
j = 0
R 2 dj e
➞
j ∧ (B r (R 2, z)e
➞
r
+ B z (R 2 , z)e
➞
z )
e
➞
j ∧ e
➞
r = – e
➞
z et e
➞
j ∧ e
➞
z = e
➞
r
Soit :
➞
F 1 → 2 = N 2 I 2 R 2 B r (R 2 , z)
2π
0
(– e
➞
z )dj
+ N 2 I 2 R 2 B z (R 2 , z)
2π
0
e
➞
r dj
2π
0
e
➞
z dj = 2π e
➞
z mais
2π
0
e
➞
r dj = 0; en effet en prenant
2 points symétriques sur la spire (caractérisés par j et
j + π) nous avons :
e
➞
r (j) = – e
➞
r (j + π) ,
donc la contribution globale sera nulle et ainsi :
➞
F 1 → 2 = – N 2 I 2 R 2 2π +
e
➞
z
= –
e
➞
z
= –
e
➞
z
2 •
y e j
q
a
a
y m 2
y
e z
y e r
r
y e q
O 1
I 1
R 1
O 2
N 1 N 2 I 1 I 2 R 1
2 R 2
2 (z 2 – z 1 )
r 5
3π
2
m 0 N 1 N 2 I 1 I 2 R 1
2
R 2
2
(z 2 – z 1 )
(R 2
1 + (z 2 – z 1 ) 2 )
5
2
3π
2
m 0 N 1 I 1 R 1
2 (z 2 – z 1 )
(R 2
1 + (z z – z 1 ) 2 )
5
2
3R 2
4
y e r
y e j
y e z
z
O 2
R 2
j
p dl
z
R 2
O 2
j 2
m 0 N 2 I 2 π R 2
2 sin q
4π r 3
N 2 I 2 π R 2
2 cos q
r 3
2m 0
4π
m 0 m 2 sin q
4π r 3
m 2 cos q
r 3
2m 0
4π
Cherchons directement la composante z de la force exercée par (2) sur (1) ; pour un élément de courant I 1 o o
d 1 = I 1
R 1 dj e
➞
j :
dF 2 → 1 z =(I 1 R 1 dje
➞
j ∧(B r (r, q)e
➞
r + B z (r, q)e
➞
q )).e
➞
z
(e
➞
j ∧ e
➞
r ).e
➞
z = – sin a
(e
➞
j ∧ e
➞
q ).e
➞
z = + cos a
et en intégrant sur j de O à N 1 × 2π :
F 2 → 1 z = – I 1 R 1 2π N 1
N 2 I 2 π R 2
2 sin a
+ I 1 R 1 2π N 1
N 2 I 2 π R 2
2 cos a
cos q = cos(π – a) = – cos a
sin q = sin(π – a) = sin a
ce qui donne :
➞
F 2 → 1 =
2π
2
N 1 N 2 I 1 I 2 R 1 R 2
2
e
➞
z
sin a =
; cos a =
et ainsi :
➞
F 2 → 1 =
m 0 N 1 N 2 I 1 I 2
e
➞
z
3 • a) L’énergie potentielle de (2) dans le champ magnétique de (1) s’écrit :
E p = –
➞
m 2 .
➞
B 1
= – N 2 π R 2
2
I 2
Pour calculer la force exercée par (1) sur (2) il faut dériver
cette expression par rapport à z 2 , cote des dipôles m 2 :
➞
F 1 → 2 = – I
I
grad z 2 (E p )
= + N 2 π R 2
2 I 2
–
e
➞
z
On retrouve bien :
➞
F 1 → 2 = –
m 0 N 1 N 2 I 1 I 2
e
➞
z = –
➞
F 2 → 1
R 1
2 R 2
2 (z 2 – z 1 )
r 5
3π
2
R 1
3 × 2(z 2 – z 1 )
(R 2
1 + (z 2 – z 1 ) 2 ]
5
2
3
2
m 0 N 1 I 1
2R 1
R 1
3
[R 2
1 + (z 2 – z 1 ) 2 ]
3
2
m 0 N 1 I 1
2R 1
R 1
2
R 2
2 (z 2 – z 1 )
r 5
3π
2
d
r
R 1
r
sin a cos a
r 3
2m 0
4π
sin q
r 3
m 0
4π
cos q
r 3
2m 0
4π
CORRIGÉS
Force de Lorentz
4
509
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
➞
B =
e
➞
r +
e
➞
q
=
e
➞
r +
e
➞
q
C) Force d’interaction entre les bobines
1 •
➞
F 1 → 2 = Ú
O, I 2 o
o
d 2 ∧
➞
B 1 avec o
o
o
o
d 2 = R 2 dj e
➞
j
= N 2 I 2
2π
j = 0
R 2 dj e
➞
j ∧ (B r (R 2, z)e
➞
r
+ B z (R 2 , z)e
➞
z )
e
➞
j ∧ e
➞
r = – e
➞
z et e
➞
j ∧ e
➞
z = e
➞
r
Soit :
➞
F 1 → 2 = N 2 I 2 R 2 B r (R 2 , z)
2π
0
(– e
➞
z )dj
+ N 2 I 2 R 2 B z (R 2 , z)
2π
0
e
➞
r dj
2π
0
e
➞
z dj = 2π e
➞
z mais
2π
0
e
➞
r dj = 0; en effet en prenant
2 points symétriques sur la spire (caractérisés par j et
j + π) nous avons :
e
➞
r (j) = – e
➞
r (j + π) ,
donc la contribution globale sera nulle et ainsi :
➞
F 1 → 2 = – N 2 I 2 R 2 2π +
e
➞
z
= –
e
➞
z
= –
e
➞
z
2 •
y e j
q
a
a
y m 2
y
e z
y e r
r
y e q
O 1
I 1
R 1
O 2
N 1 N 2 I 1 I 2 R 1
2 R 2
2 (z 2 – z 1 )
r 5
3π
2
m 0 N 1 N 2 I 1 I 2 R 1
2
R 2
2
(z 2 – z 1 )
(R 2
1 + (z 2 – z 1 ) 2 )
5
2
3π
2
m 0 N 1 I 1 R 1
2 (z 2 – z 1 )
(R 2
1 + (z z – z 1 ) 2 )
5
2
3R 2
4
y e r
y e j
y e z
z
O 2
R 2
j
p dl
z
R 2
O 2
j 2
m 0 N 2 I 2 π R 2
2 sin q
4π r 3
N 2 I 2 π R 2
2 cos q
r 3
2m 0
4π
m 0 m 2 sin q
4π r 3
m 2 cos q
r 3
2m 0
4π
Cherchons directement la composante z de la force exercée par (2) sur (1) ; pour un élément de courant I 1 o o
d 1 = I 1
R 1 dj e
➞
j :
dF 2 → 1 z =(I 1 R 1 dje
➞
j ∧(B r (r, q)e
➞
r + B z (r, q)e
➞
q )).e
➞
z
(e
➞
j ∧ e
➞
r ).e
➞
z = – sin a
(e
➞
j ∧ e
➞
q ).e
➞
z = + cos a
et en intégrant sur j de O à N 1 × 2π :
F 2 → 1 z = – I 1 R 1 2π N 1
N 2 I 2 π R 2
2 sin a
+ I 1 R 1 2π N 1
N 2 I 2 π R 2
2 cos a
cos q = cos(π – a) = – cos a
sin q = sin(π – a) = sin a
ce qui donne :
➞
F 2 → 1 =
2π
2
N 1 N 2 I 1 I 2 R 1 R 2
2
e
➞
z
sin a =
; cos a =
et ainsi :
➞
F 2 → 1 =
m 0 N 1 N 2 I 1 I 2
e
➞
z
3 • a) L’énergie potentielle de (2) dans le champ magnétique de (1) s’écrit :
E p = –
➞
m 2 .
➞
B 1
= – N 2 π R 2
2
I 2
Pour calculer la force exercée par (1) sur (2) il faut dériver
cette expression par rapport à z 2 , cote des dipôles m 2 :
➞
F 1 → 2 = – I
I
grad z 2 (E p )
= + N 2 π R 2
2 I 2
–
e
➞
z
On retrouve bien :
➞
F 1 → 2 = –
m 0 N 1 N 2 I 1 I 2
e
➞
z = –
➞
F 2 → 1
R 1
2 R 2
2 (z 2 – z 1 )
r 5
3π
2
R 1
3 × 2(z 2 – z 1 )
(R 2
1 + (z 2 – z 1 ) 2 ]
5
2
3
2
m 0 N 1 I 1
2R 1
R 1
3
[R 2
1 + (z 2 – z 1 ) 2 ]
3
2
m 0 N 1 I 1
2R 1
R 1
2
R 2
2 (z 2 – z 1 )
r 5
3π
2
d
r
R 1
r
sin a cos a
r 3
2m 0
4π
sin q
r 3
m 0
4π
cos q
r 3
2m 0
4π
CORRIGÉS
Force de Lorentz
4
509
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.