y F 21
Force de Laplace entre deux fils
1 • Cherchons
➞
F 21 la force que (2) exerce sur l’unité de longueur de (1).
Le champ créé par (2) a même valeur en
tout point de (1) :
➞
B 2 =
e
➞
z
alors
➞
F 21 = I
➞
1
➞
B 2 avec
➞
= e
➞
y
d’où
➞
F 21 = I B 2 e
➞
x avec = 1
= I B 2 e
➞
z avec = 1.
2 • La même analyse conduit à
➞
F 12 = –
➞
F 21 puisque
➞
B 1
champ créé par (1) en tout point de (2) = –
➞
B 2 .
Les deux fils se rapprochent donc, soumis à la force
F =
par unité.
3 • Si I = 1 Ae t d = 1 m, comme m 0 = 4π 10 –7 S.I
F = 2.10 –7 N .
La définition de l’ampère est : deux fils infinis rectilignes parcourus par des courants de 1A distants de 1 m, sont soumis
à une force de 2.10
–7 N par unité de longueur.
Tige conductrice soumise
à la force de Laplace
1 •
q
I
I
r
M
N
A
P p dl = dry e r
y e z
y
e r
y
B
H g
y e q
y F
12
m 0 I 2
2π d
m 0 I
2π d
y F 21
y B 2
(1)
(2)
1 m
x
z
y
I 1
I 2
11
Travaillons en coordonnées cylindriques d’axe
➞
M z . Soit un
élément de courant I o
o
d = Idr e
➞
r en P ; il est soumis à la force
o
o
dF = Idr e
➞
r ∧
➞
B = IdrBe
➞
r ∧ (– e
➞
z )
soit o
o
dF = IBdr e
➞
q .
En intégrant sur la barre de longueur , cela donne :
➞
F = IB e
➞
q .
2 • Calculons le moment o
o
G M en M de toutes les forces de
Laplace élémentaires :
o
o
G M =
N
M
R
R
MP ∧ o
o
dF =
0
r e
➞
r ∧ IBdr e
➞
q
= IB
e
➞
z .
Si on note A le point d’application de la force
➞
F , cela
donne :
IB
e
➞
z = R R
MA ∧ IB e
➞
q ,
soit donc : R
R
MA = e
➞
r .
Le point d’application de la force F est en A , milieu de MN.
3 • Le moment en M de toutes les forces (forces de Laplace,
force de pesanteur, force de liaison en M) est :
o
o
G M = IB
e
➞
z + R
R
MA ∧ m
➞
g
= IB – mg sin q e
➞
z
La barre est en équilibre pour sin q =
, avec I = .
A.N. : sin q e =
== 0,5 , soit donc q e = 30° .
Mouvement dans un champ
électrique
1 •
L’espace O x a
étant compris entre
deux conducteurs infinis il y a invariance
par translation selon y
ou z : E ne dépend,
comme V , que de x .
➞
E = – grad
— ➞ V est donc nécessairement selon e
➞
x .
Appliquons le théorème de Gauss à une surface fermée élémentaire par deux surfaces planes en x et x + dx .
Le flux sortant des parois latérales à travers Σ est donc nul
et
➞
E. o o
dS = [E(x + dx) – E(x)]S =
. Or l’espace
interconducteur est vide donc q int = 0 donc E(x + dx) = E(x):
le champ est uniforme.
q int
e 0
x
z
xx + dx
S
S
S
y
13
2.1.1
0,1.10 .4
EB
mgR
E
R
IB
mg
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
CORRIGÉS
Force de Lorentz
4
506
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
Force de Laplace entre deux fils
1 • Cherchons
➞
F 21 la force que (2) exerce sur l’unité de longueur de (1).
Le champ créé par (2) a même valeur en
tout point de (1) :
➞
B 2 =
e
➞
z
alors
➞
F 21 = I
➞
1
➞
B 2 avec
➞
= e
➞
y
d’où
➞
F 21 = I B 2 e
➞
x avec = 1
= I B 2 e
➞
z avec = 1.
2 • La même analyse conduit à
➞
F 12 = –
➞
F 21 puisque
➞
B 1
champ créé par (1) en tout point de (2) = –
➞
B 2 .
Les deux fils se rapprochent donc, soumis à la force
F =
par unité.
3 • Si I = 1 Ae t d = 1 m, comme m 0 = 4π 10 –7 S.I
F = 2.10 –7 N .
La définition de l’ampère est : deux fils infinis rectilignes parcourus par des courants de 1A distants de 1 m, sont soumis
à une force de 2.10
–7 N par unité de longueur.
Tige conductrice soumise
à la force de Laplace
1 •
q
I
I
r
M
N
A
P p dl = dry e r
y e z
y
e r
y
B
H g
y e q
y F
12
m 0 I 2
2π d
m 0 I
2π d
y F 21
y B 2
(1)
(2)
1 m
x
z
y
I 1
I 2
11
Travaillons en coordonnées cylindriques d’axe
➞
M z . Soit un
élément de courant I o
o
d = Idr e
➞
r en P ; il est soumis à la force
o
o
dF = Idr e
➞
r ∧
➞
B = IdrBe
➞
r ∧ (– e
➞
z )
soit o
o
dF = IBdr e
➞
q .
En intégrant sur la barre de longueur , cela donne :
➞
F = IB e
➞
q .
2 • Calculons le moment o
o
G M en M de toutes les forces de
Laplace élémentaires :
o
o
G M =
N
M
R
R
MP ∧ o
o
dF =
0
r e
➞
r ∧ IBdr e
➞
q
= IB
e
➞
z .
Si on note A le point d’application de la force
➞
F , cela
donne :
IB
e
➞
z = R R
MA ∧ IB e
➞
q ,
soit donc : R
R
MA = e
➞
r .
Le point d’application de la force F est en A , milieu de MN.
3 • Le moment en M de toutes les forces (forces de Laplace,
force de pesanteur, force de liaison en M) est :
o
o
G M = IB
e
➞
z + R
R
MA ∧ m
➞
g
= IB – mg sin q e
➞
z
La barre est en équilibre pour sin q =
, avec I = .
A.N. : sin q e =
== 0,5 , soit donc q e = 30° .
Mouvement dans un champ
électrique
1 •
L’espace O x a
étant compris entre
deux conducteurs infinis il y a invariance
par translation selon y
ou z : E ne dépend,
comme V , que de x .
➞
E = – grad
— ➞ V est donc nécessairement selon e
➞
x .
Appliquons le théorème de Gauss à une surface fermée élémentaire par deux surfaces planes en x et x + dx .
Le flux sortant des parois latérales à travers Σ est donc nul
et
➞
E. o o
dS = [E(x + dx) – E(x)]S =
. Or l’espace
interconducteur est vide donc q int = 0 donc E(x + dx) = E(x):
le champ est uniforme.
q int
e 0
x
z
xx + dx
S
S
S
y
13
2.1.1
0,1.10 .4
EB
mgR
E
R
IB
mg
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
CORRIGÉS
Force de Lorentz
4
506
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.