La trajectoire de H est une cycloïde représentée ci-dessous :
L’écart maximal de la courbe par rapport à l’axe des y est :
|x| max
(d’après l’énoncé, v d > v 0y ).
Pour que cette mesure ne dépende pas des conditions initiales,
il faut que v d >> v 0y , soit E >> Bv 0y .
Dans ce cas, l’écart maximal est égal à:
sa mesure permet bien de déterminer la valeur de
d) O′H
— ➞ = OH
— ➞ – v
➞
d t . Les coordonnées de H dans ′ sont
donc
Sa trajectoire est le cercle d’équation :
.
2 • a)
o u encore E
➞ = B
➞ ∧ v
➞
d .
(Bien remarquer l’homogénéité de cette formule.)
La relation fondamentale de la dynamique dans ′ s’écrit :
ma
➞ = q(E
➞ + v
➞ ∧ B
➞
) = q(v
➞ – v
➞
d ) ∧ B
➞ , ou encore :
ma
➞ (P) /′ = qv
➞ (P) /′ ∧ B
➞ .
Ainsi, dans ′ , le mouvement de la particule est celui d’une
particule soumise uniquement au champ magnétique B
➞ .
b) La trajectoire de P dans ′ est donc une hélice. La trajectoire de H est la combinaison de la trajectoire circulaire
de H′ et du mouvement de translation selon (Oy) de ′ par
rapport à .
v
➞
➞➞
d =
∧
EB
B
2 ,
′ −
−
+′=
−
x
y
y
y
vv
vv
0
2
2
0
2
d
d
ω
ω
′ =
−
−
′ =
−
xt
t
yt
t
y
y
()
(c os( ))
()
sin( ).
vv
vv
0
0
1
d
d
ω
ω
ω
ω
q
m
.
2
2
2
v d
ω
=
m
q
E
B
:
=
−
2
vv d0y
ω
,
70
60
50
40
30
20
10
écart maximal à l’axe (Oy)
– 20
– 4
– 6
– 8
Réfraction d’électrons
1 • a)L ’énergie mécanique est constante :
car au point de départ M , v = 0 et
V = 0 (on note que q est négative).
b) La force électrique est portée par e
➞
z : la composante de la
vitesse sur e
➞
y est constante, d’où :
v 1 sini 1 = v 2 sini 2 ,soit
(en utilisant la relation précédente pour exprimer les vitesses
en fonction des potentiels).
c) Cette expression est analogue à la loi de Descartes sur la
réfraction : n 1 sini 1 = n 2 sini 2 (cf. H-Prépa, 1 re année partie
Optique). Le rôle de l’indice n est joué par
2 • a)La force électrique est colinéaire à e
➞
r donc à CM
— ➞ (où
M est la position de l’électron à un instant donné), son
moment en C est donc nul : le moment cinétique en C est
une constante. On en déduit :
CI
— ➞
1 ∧ v
➞
1 = CI
— ➞
2 ∧ v
➞
2 , soit R 1 v 1 sini 1 = R 2 v 2 sini 2 .
En remplaçant les vitesses par leur expression en fonction du
potentiel, on obtient :
b) Dans le triangle A 1 I 1 C : a 1 + (π – i 1 ) + w 1 =π, soit :
i 1 = a 1 + w 1 . On obtient de même i 2 = a 2 + w 2 .
Les vitesses étant peu inclinées par rapport à l’axe, tous les
angles sont petits (en optique géométrique, c’est le cadre de
l’approximation de Gauss). De plus, le sommet S peut être
confondu avec la projection H de I sur l’axe (Cz) (l’arc de
cercle SI est confondu avec le segment HI). On en déduit :
et
On a des relations analogues avec l’indice 2.
En reportant dans les expressions de i 1 et de i 2 , on obtient
, de même pour i 2 .
En reportant dans l’équation établie à la question 2) a), il
vient, après simplification par R (R 1 et R 2 sont à peu près
confondus) et
:
ou encore
K
Cette relation est l’analogue de la formule de conjugaison
d’un dioptre sphérique, qui n’est pas au programme mais que
l’on peut établir par une démonstration tout à fait identique à
celle-ci.
VV
SC
21
=
−
.
V
SA
V
SA
2
2
1
1
−=
V SC SA
V SC SA
1
1
2
2
11
11
−
=−
SI
iS I SC SA
1
1
11
=−
tan
.
ωω 11 ==
SI
SC
tanαα 11
1
==
SI
AS
RV
iR Vi
11
12
22
sin
sin .
=
V .
=
Vi
Vi
11
22
sin
sin
M =+
=
1
2
0
2
mq V
v
,
10
CORRIGÉS
Force de Lorentz
4
505
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
L’écart maximal de la courbe par rapport à l’axe des y est :
|x| max
(d’après l’énoncé, v d > v 0y ).
Pour que cette mesure ne dépende pas des conditions initiales,
il faut que v d >> v 0y , soit E >> Bv 0y .
Dans ce cas, l’écart maximal est égal à:
sa mesure permet bien de déterminer la valeur de
d) O′H
— ➞ = OH
— ➞ – v
➞
d t . Les coordonnées de H dans ′ sont
donc
Sa trajectoire est le cercle d’équation :
.
2 • a)
o u encore E
➞ = B
➞ ∧ v
➞
d .
(Bien remarquer l’homogénéité de cette formule.)
La relation fondamentale de la dynamique dans ′ s’écrit :
ma
➞ = q(E
➞ + v
➞ ∧ B
➞
) = q(v
➞ – v
➞
d ) ∧ B
➞ , ou encore :
ma
➞ (P) /′ = qv
➞ (P) /′ ∧ B
➞ .
Ainsi, dans ′ , le mouvement de la particule est celui d’une
particule soumise uniquement au champ magnétique B
➞ .
b) La trajectoire de P dans ′ est donc une hélice. La trajectoire de H est la combinaison de la trajectoire circulaire
de H′ et du mouvement de translation selon (Oy) de ′ par
rapport à .
v
➞
➞➞
d =
∧
EB
B
2 ,
′ −
−
+′=
−
x
y
y
y
vv
vv
0
2
2
0
2
d
d
ω
ω
′ =
−
−
′ =
−
xt
t
yt
t
y
y
()
(c os( ))
()
sin( ).
vv
vv
0
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1
d
d
ω
ω
ω
ω
q
m
.
2
2
2
v d
ω
=
m
q
E
B
:
=
−
2
vv d0y
ω
,
70
60
50
40
30
20
10
écart maximal à l’axe (Oy)
– 20
– 4
– 6
– 8
Réfraction d’électrons
1 • a)L ’énergie mécanique est constante :
car au point de départ M , v = 0 et
V = 0 (on note que q est négative).
b) La force électrique est portée par e
➞
z : la composante de la
vitesse sur e
➞
y est constante, d’où :
v 1 sini 1 = v 2 sini 2 ,soit
(en utilisant la relation précédente pour exprimer les vitesses
en fonction des potentiels).
c) Cette expression est analogue à la loi de Descartes sur la
réfraction : n 1 sini 1 = n 2 sini 2 (cf. H-Prépa, 1 re année partie
Optique). Le rôle de l’indice n est joué par
2 • a)La force électrique est colinéaire à e
➞
r donc à CM
— ➞ (où
M est la position de l’électron à un instant donné), son
moment en C est donc nul : le moment cinétique en C est
une constante. On en déduit :
CI
— ➞
1 ∧ v
➞
1 = CI
— ➞
2 ∧ v
➞
2 , soit R 1 v 1 sini 1 = R 2 v 2 sini 2 .
En remplaçant les vitesses par leur expression en fonction du
potentiel, on obtient :
b) Dans le triangle A 1 I 1 C : a 1 + (π – i 1 ) + w 1 =π, soit :
i 1 = a 1 + w 1 . On obtient de même i 2 = a 2 + w 2 .
Les vitesses étant peu inclinées par rapport à l’axe, tous les
angles sont petits (en optique géométrique, c’est le cadre de
l’approximation de Gauss). De plus, le sommet S peut être
confondu avec la projection H de I sur l’axe (Cz) (l’arc de
cercle SI est confondu avec le segment HI). On en déduit :
et
On a des relations analogues avec l’indice 2.
En reportant dans les expressions de i 1 et de i 2 , on obtient
, de même pour i 2 .
En reportant dans l’équation établie à la question 2) a), il
vient, après simplification par R (R 1 et R 2 sont à peu près
confondus) et
:
ou encore
K
Cette relation est l’analogue de la formule de conjugaison
d’un dioptre sphérique, qui n’est pas au programme mais que
l’on peut établir par une démonstration tout à fait identique à
celle-ci.
VV
SC
21
=
−
.
V
SA
V
SA
2
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1
1
−=
V SC SA
V SC SA
1
1
2
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11
11
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1
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.
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SI
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tanαα 11
1
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11
12
22
sin
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Vi
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11
22
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M =+
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1
2
0
2
mq V
v
,
10
CORRIGÉS
Force de Lorentz
4
505
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.