c) Les racines de l’équation caractéristique sont :
et
Or n c = 15,4 GHz >> n z , w 1 est donc très proche de w c : c’est
la pulsation appelée w c ′ dans l’énoncé, w 2 est donc la pulsation w m .
On a alors r(t) = Ae iw m t + Be iw c ′t , A et B étant des constantes complexes déterminées par les conditions initiales de
mouvement. L’équation de la trajectoire est donnée par
x(t) = Re(r(t)) et y(t) = Im(r(t)) .
A.N. : n¢ c = 15,4 GHz et n m = 58,4 kHz.
On remarque que
n m << n z << n¢ c .
d) Le mouvement de l’électron dans le piège est la superposition des trois mouvements représentés ci-dessous :
La trajectoire de l’électron a l’allure suivante dans le plan
(xOy):
1
–1
–1
1
0
ω z
ω’ c
ω m
b
z
==
−−
i
i
2
cc
2
ωω
ωω
2
2
2.
a
z
==
+−
i
i
2
cc
2
ωω
ωω
1
2
2
La trajectoire a, en 3D, l’allure ci-dessous :
Spectromètre de masse
1 • a)La relation fondamentale de la dynamique :
ma
➞ = q(E
➞ + v
➞ ∧ B
➞ ) ,
s’écrit en projection sur les trois axes :
(on l’écrit sous cette forme, car l’énoncé demande v x , v y et v z ).
En faisant apparaître v d et w les deux premières équations
deviennent :
La résolution de ces équations par une des méthodes habituelles (introduction de la variable u = x + iy ou élimination
de v x entre les deux équations en dérivant la seconde) donne,
compte tenu des conditions initiales :
La troisième équation donne simplement v z = v 0z .
b)On intègre ces équations en tenant compte des conditions
initiales :
c) On néglige les termes en v 0x devant les autres termes. Les
coordonnées du point H sont donc :
xt
t
yt
tt
y
y
()
(c os( ))
()
sin( ).
=
−
−
=
−
+
vv
vv
v
0
0
1
d
d
d
ω
ω
ω
ω
xt
t
t
yt
tt
t
zt
t
x
y
y
x
z
()
sin( )( cos( ))
()
sin( )( cos( ))
()
.
=+
−
−
=
−
+− +
=
v
vv
vv
v
v
v
0
0
0
0
0
1
1
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
d
d
d
vv
vv
vv
vv
v
xx
y
yy
x
tt
t
t
t
t
()
cos( )(
)sin( )
() () cos( )s in( ).
=+
−
=−
−+
0
0
0
0
ω
ω
ωω
d
d
d
vv v
vv
xy
yx
•
•
()
.
=−
=−
ω
ω
d
mq Eq B
mq B
m
x
y
yx
z
vv
vv
v
•
•
•
=− +
=−
=
0
9
CORRIGÉS
Force de Lorentz
4
504
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
et
Or n c = 15,4 GHz >> n z , w 1 est donc très proche de w c : c’est
la pulsation appelée w c ′ dans l’énoncé, w 2 est donc la pulsation w m .
On a alors r(t) = Ae iw m t + Be iw c ′t , A et B étant des constantes complexes déterminées par les conditions initiales de
mouvement. L’équation de la trajectoire est donnée par
x(t) = Re(r(t)) et y(t) = Im(r(t)) .
A.N. : n¢ c = 15,4 GHz et n m = 58,4 kHz.
On remarque que
n m << n z << n¢ c .
d) Le mouvement de l’électron dans le piège est la superposition des trois mouvements représentés ci-dessous :
La trajectoire de l’électron a l’allure suivante dans le plan
(xOy):
1
–1
–1
1
0
ω z
ω’ c
ω m
b
z
==
−−
i
i
2
cc
2
ωω
ωω
2
2
2.
a
z
==
+−
i
i
2
cc
2
ωω
ωω
1
2
2
La trajectoire a, en 3D, l’allure ci-dessous :
Spectromètre de masse
1 • a)La relation fondamentale de la dynamique :
ma
➞ = q(E
➞ + v
➞ ∧ B
➞ ) ,
s’écrit en projection sur les trois axes :
(on l’écrit sous cette forme, car l’énoncé demande v x , v y et v z ).
En faisant apparaître v d et w les deux premières équations
deviennent :
La résolution de ces équations par une des méthodes habituelles (introduction de la variable u = x + iy ou élimination
de v x entre les deux équations en dérivant la seconde) donne,
compte tenu des conditions initiales :
La troisième équation donne simplement v z = v 0z .
b)On intègre ces équations en tenant compte des conditions
initiales :
c) On néglige les termes en v 0x devant les autres termes. Les
coordonnées du point H sont donc :
xt
t
yt
tt
y
y
()
(c os( ))
()
sin( ).
=
−
−
=
−
+
vv
vv
v
0
0
1
d
d
d
ω
ω
ω
ω
xt
t
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t
x
y
y
x
z
()
sin( )( cos( ))
()
sin( )( cos( ))
()
.
=+
−
−
=
−
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v
vv
vv
v
v
v
0
0
0
0
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ω
ω
ω
ω
ω
ω
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vv
vv
vv
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t
t
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0
0
0
0
ω
ω
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d
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•
•
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.
=−
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ω
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m
x
y
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z
vv
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•
•
•
=− +
=−
=
0
9
CORRIGÉS
Force de Lorentz
4
504
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.