CORRIGÉS
Force de Lorentz
4
503
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
Remarquons que nous avons bien une dérive dans le sens de
x 0 pour les deux particules ; en effet dans le cas
général, la vitesse de dérive est
quel que soit le
signe de la charge.
3 • z(t) s’annule la première fois par w c t = 2π .
Le point A est donc atteint à une date telle que :
w c t = π , soit z A = = ;
et donc : z A =.
x A = –
.
4 • Nous avons
➞
v 0 = v 0
➞
e x . Pour avoir un mouvement suivant
x , il faut que l’accélération suivant z soit nulle, soit :
E + v x B = 0 , soit v x = –
.
Nous retrouvons la vitesse de dérive
➞
v x =
, indépendante du signe de la charge de la particule.
*Électron dans un piège
de Penning
1 • En O , le champ électrique est nul, l’électron est donc en
équilibre. La relation fondamentale de la dynamique projetée
sur les axes (Ox) , (Oy) et (Oz) donne :
mx
eU x
R
my
eU y
R
mz
eU z
R
••
••
••
.
=
=
=−
0
2
0
2
0
2
2
2
8
➞
E∧
➞
B
B 2
E
B
πE
Bw c
2E
Bw c
2E
Bw c
1 – cos π
w c
E
B
➞
E ∧
➞
B
B 2
q <0
–
x
y
A
z
pE
Bw c
– 2E
Bw c
y E
y B
Le mouvement sur les axes (Ox) et (Oy) est exponentiel,
celui sur l’axe (Oz) est sinusoïdal, de pulsation :
Le mouvement le long de l’axe (Oz) est stable (l’électron est
rappelé vers sa position d’équilibre), il est instable dans le
plan (xOy) (l’électron s’éloigne de O).
A. N. : n z = 42,4 MHz.
2 • a) L’équation du mouvement est :
ma
➞ = – e(E
➞ + v
➞ ∧ B
➞ ) .
La force magnétique est dans le plan (xOy) , le mouvement
sur (Oz) est donc le même que celui de la question 1), c’està-dire un mouvement oscillatoire de fréquence n z .
b)Sur les axes (Ox)e t (Oy) , on obtient :
On pose r = x + iy et on effectue (1) + i(2), l’équation différentielle vérifiée par r est alors :
Les solutions sont de la forme r = Ae at + Be bt , où A et B
sont des constantes complexes, et a et b les racines de
l’équation caractéristique.
L’électron ne sera piégé que si le module de r est borné.
Pour cela, il faut et il suffit que les parties réelles de a et de
b soient négatives ou nulles.
Le discriminant de l’équation caractéristique est :
∆=– w c
2 + 2w z
2 .
Les solutions de l’équation caractéristique sont :
iw c ± 2∆ si ∆ > 0 ,
iw c ±i4∆si ∆ < 0 ,
iw c si ∆=0 .
Si ∆ > 0 , une des deux racines a une partie réelle positive, le
mouvement ne sera alors pas borné.
L’électron n’est piégé que si ∆
,
ce qui équivaut à
A.N. : B c = 2,14.10 –3 T. Si on choisit B 0 = 0,55 T, la condition
ci-dessus est vérifiée.
=
BB
mU
eR
0
0
2
2
c
.
=− +
ωω c
2 20
2
z
1
2
1
2
1
2
ρω ρ
ω ρ
••
•
.
−−= i c
z
2
2
0
(1)
(2)
mx
eU
R
xe By
my
eU
R
ye Bx
••
•
••
• .
=−
=+
0
2
0
0
2
0
2
2
ω z
eU
mR
=
0
2
.
Force de Lorentz
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503
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
Remarquons que nous avons bien une dérive dans le sens de
x 0 pour les deux particules ; en effet dans le cas
général, la vitesse de dérive est
quel que soit le
signe de la charge.
3 • z(t) s’annule la première fois par w c t = 2π .
Le point A est donc atteint à une date telle que :
w c t = π , soit z A = = ;
et donc : z A =.
x A = –
.
4 • Nous avons
➞
v 0 = v 0
➞
e x . Pour avoir un mouvement suivant
x , il faut que l’accélération suivant z soit nulle, soit :
E + v x B = 0 , soit v x = –
.
Nous retrouvons la vitesse de dérive
➞
v x =
, indépendante du signe de la charge de la particule.
*Électron dans un piège
de Penning
1 • En O , le champ électrique est nul, l’électron est donc en
équilibre. La relation fondamentale de la dynamique projetée
sur les axes (Ox) , (Oy) et (Oz) donne :
mx
eU x
R
my
eU y
R
mz
eU z
R
••
••
••
.
=
=
=−
0
2
0
2
0
2
2
2
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E∧
➞
B
B 2
E
B
πE
Bw c
2E
Bw c
2E
Bw c
1 – cos π
w c
E
B
➞
E ∧
➞
B
B 2
q <0
–
x
y
A
z
pE
Bw c
– 2E
Bw c
y E
y B
Le mouvement sur les axes (Ox) et (Oy) est exponentiel,
celui sur l’axe (Oz) est sinusoïdal, de pulsation :
Le mouvement le long de l’axe (Oz) est stable (l’électron est
rappelé vers sa position d’équilibre), il est instable dans le
plan (xOy) (l’électron s’éloigne de O).
A. N. : n z = 42,4 MHz.
2 • a) L’équation du mouvement est :
ma
➞ = – e(E
➞ + v
➞ ∧ B
➞ ) .
La force magnétique est dans le plan (xOy) , le mouvement
sur (Oz) est donc le même que celui de la question 1), c’està-dire un mouvement oscillatoire de fréquence n z .
b)Sur les axes (Ox)e t (Oy) , on obtient :
On pose r = x + iy et on effectue (1) + i(2), l’équation différentielle vérifiée par r est alors :
Les solutions sont de la forme r = Ae at + Be bt , où A et B
sont des constantes complexes, et a et b les racines de
l’équation caractéristique.
L’électron ne sera piégé que si le module de r est borné.
Pour cela, il faut et il suffit que les parties réelles de a et de
b soient négatives ou nulles.
Le discriminant de l’équation caractéristique est :
∆=– w c
2 + 2w z
2 .
Les solutions de l’équation caractéristique sont :
iw c ± 2∆ si ∆ > 0 ,
iw c ±i4∆si ∆ < 0 ,
iw c si ∆=0 .
Si ∆ > 0 , une des deux racines a une partie réelle positive, le
mouvement ne sera alors pas borné.
L’électron n’est piégé que si ∆
,
ce qui équivaut à
A.N. : B c = 2,14.10 –3 T. Si on choisit B 0 = 0,55 T, la condition
ci-dessus est vérifiée.
=
BB
mU
eR
0
0
2
2
c
.
=− +
ωω c
2 20
2
z
1
2
1
2
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2
ρω ρ
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••
•
.
−−= i c
z
2
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R
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••
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••
• .
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2
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2
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