498
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
Accélération d’une particule
chargée par une différence
de potentiel (méthode)
1 • L’énergie potentielle d’une particule de charge q dans un
potentiel V est P = qV . La conservation de l’énergie entre
les deux grilles s’écrit donc :
le produit qV 0 doit être négatif.
Donc pour un électron q = – e 0 et V 0 0 .
2 • a) Pour un électron :
v = 5,9 10 6 m.s –1
b) Pour un ion argon :
v = 1,2 10 5 m.s –1
On remarque que, dans les deux cas, v << c (c = 3.10 8 m.s –1 ),
l’approximation de la mécanique classique est bien valable.
Particule chargée dans
un champ magnétique uniforme
1 • La force qui agit sur l’électron est
➞
F = – e
➞
v ∧
➞
B . Elle est
constamment orthogonale au mouvement : son travail est nul.
L’énergie cinétique de l’électron est donc constante, et v ,
module du vecteur vitesse, l’est aussi.
La vitesse initiale étant perpendiculaire à
➞
B 0 , le mouvement
a lieu dans le plan (xOy);e n effet
➞
v ∧
➞
B 0 est orthogonal à
➞
B 0 donc
➞
F est un vecteur du plan (xOy) et comme l’électron a son vecteur vitesse selon e
➞
x , il reste dans le plan xOy :
la relation fondamentale de la dynamique projetée sur (Oz)
donne :
z
•• = 0 ⇒ z
• = cte = 0 ⇒ z = cte = 0
d’après les conditions initiales.
La force est à chaque instant perpendiculaire à la vitesse en
raison du produit vectoriel. La trajectoire est donc circulaire
uniforme (pas d’accélération tangentielle qui augmenterait la
vitesse de rotation).
2 • Dans le référentiel C , e
➞
r , e
➞
q , e
➞
z lié au centre de la trajectoire circulaire
➞
v est selon
➞
m q et
➞
B 0 selon t z donc
➞
F = – e
➞
v ∧
➞
B 0 = – ev B 0 e
➞
r = – mr c w c
2 ➞
e r d’après l’expression
de l’accélération radiale, et
➞
v = r c w c
➞
e q .
r c w c
2 =
d’où ev B 0 = m
soit
r c =
et
,
la fréquence v c =.
eB 0
2π m
ω
ρ
c
c
==
v 00 eB
m
mv
eB 0
v 2
r c
v 2
r c
2
0
1
2
2
2
=+
⇔=
−
mq V
qV
m
O
O
v
v
,
1
3 • A. N. :
41,9 km.s –1 , d’où r c = 0,43 µm et
n c = 15,4 GHz .
Déviation d’un électron
1 • Appliquons le théorème de l’énergie cinétique entre les
instants où l’électron quitte (1) pour arriver en (2) :
mv 2
2 –
mv 2
1 = – e(V 1 – V 2 ) ⇒ v 2
2 = v 1
2 + 2meU
soit v 2 = 9v 2
1 + 2meU lorsque l’électron arrive en (2).
2 • Nous savons que v 1
2 = v 1x
2
+ v 1y
2
et v 2
2 = v 2x
2
+ v 2y
2
ce qui
donne :
v 2x
2
+ v 2y
2
= v 1x
2
+ v 1y
2
+ 2meU .
Le principe fondamental de la dynamique appliqué à l’électron donne :
ma
➞ = – eE
➞ = – eE
➞
e y .
Donc l’accélération de l’électron est nulle suivant
➞
e x , ce qui
conduit à v 1x = v 2x et donc :
v 2y
2
= v 1y
2
+ 2meU .
L’électron atteindra la plaque (2) si v 2y 0; il faut donc que
v 1y
2
+ 2meU 0 soit :
v 1y
2
– 2meU
v 2
1 cos 2 i 1 – 2meU
U –
.
Cas où U 0
y v 1
y v 2
y E
– ey E
i 2 < i 1
V 2 = U>O
V 1 = O
i 1
i 2
(2)
(1)
l’électron atteint
toujours (2)
O
U
U l =
v 1
2 cos 2 i 1
– eE < O
2 me
– eE > O
v 2
1 cos 2 i 1
2me
y
x
y v 1
i 1
1
2
1
2
3
v 0
2
==
K
m
Corrigés
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
Accélération d’une particule
chargée par une différence
de potentiel (méthode)
1 • L’énergie potentielle d’une particule de charge q dans un
potentiel V est P = qV . La conservation de l’énergie entre
les deux grilles s’écrit donc :
le produit qV 0 doit être négatif.
Donc pour un électron q = – e 0 et V 0 0 .
2 • a) Pour un électron :
v = 5,9 10 6 m.s –1
b) Pour un ion argon :
v = 1,2 10 5 m.s –1
On remarque que, dans les deux cas, v << c (c = 3.10 8 m.s –1 ),
l’approximation de la mécanique classique est bien valable.
Particule chargée dans
un champ magnétique uniforme
1 • La force qui agit sur l’électron est
➞
F = – e
➞
v ∧
➞
B . Elle est
constamment orthogonale au mouvement : son travail est nul.
L’énergie cinétique de l’électron est donc constante, et v ,
module du vecteur vitesse, l’est aussi.
La vitesse initiale étant perpendiculaire à
➞
B 0 , le mouvement
a lieu dans le plan (xOy);e n effet
➞
v ∧
➞
B 0 est orthogonal à
➞
B 0 donc
➞
F est un vecteur du plan (xOy) et comme l’électron a son vecteur vitesse selon e
➞
x , il reste dans le plan xOy :
la relation fondamentale de la dynamique projetée sur (Oz)
donne :
z
•• = 0 ⇒ z
• = cte = 0 ⇒ z = cte = 0
d’après les conditions initiales.
La force est à chaque instant perpendiculaire à la vitesse en
raison du produit vectoriel. La trajectoire est donc circulaire
uniforme (pas d’accélération tangentielle qui augmenterait la
vitesse de rotation).
2 • Dans le référentiel C , e
➞
r , e
➞
q , e
➞
z lié au centre de la trajectoire circulaire
➞
v est selon
➞
m q et
➞
B 0 selon t z donc
➞
F = – e
➞
v ∧
➞
B 0 = – ev B 0 e
➞
r = – mr c w c
2 ➞
e r d’après l’expression
de l’accélération radiale, et
➞
v = r c w c
➞
e q .
r c w c
2 =
d’où ev B 0 = m
soit
r c =
et
,
la fréquence v c =.
eB 0
2π m
ω
ρ
c
c
==
v 00 eB
m
mv
eB 0
v 2
r c
v 2
r c
2
0
1
2
2
2
=+
⇔=
−
mq V
qV
m
O
O
v
v
,
1
3 • A. N. :
41,9 km.s –1 , d’où r c = 0,43 µm et
n c = 15,4 GHz .
Déviation d’un électron
1 • Appliquons le théorème de l’énergie cinétique entre les
instants où l’électron quitte (1) pour arriver en (2) :
mv 2
2 –
mv 2
1 = – e(V 1 – V 2 ) ⇒ v 2
2 = v 1
2 + 2meU
soit v 2 = 9v 2
1 + 2meU lorsque l’électron arrive en (2).
2 • Nous savons que v 1
2 = v 1x
2
+ v 1y
2
et v 2
2 = v 2x
2
+ v 2y
2
ce qui
donne :
v 2x
2
+ v 2y
2
= v 1x
2
+ v 1y
2
+ 2meU .
Le principe fondamental de la dynamique appliqué à l’électron donne :
ma
➞ = – eE
➞ = – eE
➞
e y .
Donc l’accélération de l’électron est nulle suivant
➞
e x , ce qui
conduit à v 1x = v 2x et donc :
v 2y
2
= v 1y
2
+ 2meU .
L’électron atteindra la plaque (2) si v 2y 0; il faut donc que
v 1y
2
+ 2meU 0 soit :
v 1y
2
– 2meU
v 2
1 cos 2 i 1 – 2meU
U –
.
Cas où U 0
y v 1
y v 2
y E
– ey E
i 2 < i 1
V 2 = U>O
V 1 = O
i 1
i 2
(2)
(1)
l’électron atteint
toujours (2)
O
U
U l =
v 1
2 cos 2 i 1
– eE < O
2 me
– eE > O
v 2
1 cos 2 i 1
2me
y
x
y v 1
i 1
1
2
1
2
3
v 0
2
==
K
m
Corrigés