©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
EXERCICES
Force de Lorentz
4
495
*Conduction dans le germanium.
Effet Hall
D’après Mines d’Albi, Alès, Douai, Nantes.
1 • Un électron, de charge – e , de masse m , est émis
avec une vitesse initiale nulle dans une région de l’espace
où règne un champ électrique uniforme et constant E
➞
0 .
L’électron est, en outre, soumis à l’action d’une force de
frottement (de type fluide) due à l’action du milieu dans
lequel il se déplace :
Son mouvement est décrit dans un référentiel galiléen (O ;
x , y , z) , de base (u
➞
x , u
➞
y , u
➞
z ) dans lequel E
➞
0 = E 0 u
➞
x . On
néglige l’action de la pesanteur.
a) Écrire l’équation différentielle du mouvement de
l’électron. Quelle est l’unité de la constante t ?
b) Donner l’expression du vecteur vitesse v
➞ en fonction
du temps.
Montrer qu’il tend vers une limite v
➞
∞ que l’on exprimera.
Exprimer le temps au bout duquel l’électron atteint cette
vitesse limite à 1% près.
2 • Le germanium est un bon isolant électrique. Lorsqu’on
introduit des impuretés en très faible concentration, par
exemple de l’antimoine (Sb), la conductivité électrique du
germanium augmente fortement : on obtient un semiconducteur «dopé », noté Ge:Sb dont les propriétés électriques dépendent à la fois du nombre d’atomes Sb introduits par unité de volume, N , et de la température T .
On propose le modèle suivant de conduction dans le germanium dopé : dans Ge pur, tous les électrons sont engagés dans des liaisons chimiques et ne peuvent participer à
la conduction électrique.
On suppose que lorsqu’on dope Ge par Sb, à raison de N
atomes de Sb par unité de volume, à température ambiante, chaque atome Sb «libère » un électron du réseau cristallin. Sous l’action d’un champ électrique uniforme E
➞
0 ,
les charges libres sont animées d’un mouvement de vitesse v
➞ . On modélise l’action des atomes ou des ions du
réseau sur ces charges par une force de frottement du type
précédent.
F
m
➞
➞
=−
v
τ
.
14
Mouvement dans un champ
électrique
D’après ESIGETEL MP 99.
Deux plans conducteurs parfaits infinis d’équations
respectives x = 0 et x = a sont portés aux potentiels
respectifs V(x = 0) = 0 et V(x = a) = U 0 .
L’espace interconducteur est vide.
1 • Montrer que le champ électrique E , dans le vide, est
uniforme.
2 • Calculer E et V(x) .
A.N. : Calculer E avec U = 10 kV et a = 1 m .
3 • Un électron entre à l’instant initial en x = 0 avec une
vitesse initiale v 0 = v 0 u y , avec v 0 0 . Montrer que son
poids est négligeable devant la force électrique.
4 • Exprimer sa vitesse à tout instant et déterminer sa trajectoire. À quelle condition sur U son mouvement s’effectue-t-il dans l’espace interconducteur ?
5 • À quelle date sort-il de l’espace interconducteur ?
Exprimer alors sa vitesse v
➞
1 et sa position.
6 • On place en y = y 0 et x = a une fente très fine.
Montrer que ce dispositif permet de sélectionner des
électrons de vitesse v 0 donnée. Relier v 0 à y 0 .
Données :e= 1.6 10 –19 C
et masse de l’électron m = 9.1 10 –31 kg.
V = OV = 4
plan x = O
plan x = a
y v O
x
OA
a
o
y
13
Conseils
1) Dans un premier temps montrer que E ne dépend
que d’une seule variable d’espace en étudiant les
invariances du problème. Appliquer ensuite le théorème de Gauss à une surface convenablement choisie.
2) Les seules données du problème sont les potentiels
en x = 0 et en x = a . Mais comme on a démontré
que E est uniforme, on peut calculer sa valeur en
exprimant sa circulation entre x = 0 et x = a . Il
faut bien détailler les calculs avec les grandeurs
vectorielles pour ne pas commettre d’erreur de
signe.
Conseils
3) Appliquer le principe fondamental de la dynamique à l’électron en tenant compte de l’approximation qui découle de la question précédente. Ne pas
oublierles constantes d’intégration.
4) L’électron est accéléré dans un sens opposé à celui
du champ E puisqu’il est chargé négativement, E
est toujours dirigé vers les potentiels décroissants.
La photocopie non autorisée est un délit.
EXERCICES
Force de Lorentz
4
495
*Conduction dans le germanium.
Effet Hall
D’après Mines d’Albi, Alès, Douai, Nantes.
1 • Un électron, de charge – e , de masse m , est émis
avec une vitesse initiale nulle dans une région de l’espace
où règne un champ électrique uniforme et constant E
➞
0 .
L’électron est, en outre, soumis à l’action d’une force de
frottement (de type fluide) due à l’action du milieu dans
lequel il se déplace :
Son mouvement est décrit dans un référentiel galiléen (O ;
x , y , z) , de base (u
➞
x , u
➞
y , u
➞
z ) dans lequel E
➞
0 = E 0 u
➞
x . On
néglige l’action de la pesanteur.
a) Écrire l’équation différentielle du mouvement de
l’électron. Quelle est l’unité de la constante t ?
b) Donner l’expression du vecteur vitesse v
➞ en fonction
du temps.
Montrer qu’il tend vers une limite v
➞
∞ que l’on exprimera.
Exprimer le temps au bout duquel l’électron atteint cette
vitesse limite à 1% près.
2 • Le germanium est un bon isolant électrique. Lorsqu’on
introduit des impuretés en très faible concentration, par
exemple de l’antimoine (Sb), la conductivité électrique du
germanium augmente fortement : on obtient un semiconducteur «dopé », noté Ge:Sb dont les propriétés électriques dépendent à la fois du nombre d’atomes Sb introduits par unité de volume, N , et de la température T .
On propose le modèle suivant de conduction dans le germanium dopé : dans Ge pur, tous les électrons sont engagés dans des liaisons chimiques et ne peuvent participer à
la conduction électrique.
On suppose que lorsqu’on dope Ge par Sb, à raison de N
atomes de Sb par unité de volume, à température ambiante, chaque atome Sb «libère » un électron du réseau cristallin. Sous l’action d’un champ électrique uniforme E
➞
0 ,
les charges libres sont animées d’un mouvement de vitesse v
➞ . On modélise l’action des atomes ou des ions du
réseau sur ces charges par une force de frottement du type
précédent.
F
m
➞
➞
=−
v
τ
.
14
Mouvement dans un champ
électrique
D’après ESIGETEL MP 99.
Deux plans conducteurs parfaits infinis d’équations
respectives x = 0 et x = a sont portés aux potentiels
respectifs V(x = 0) = 0 et V(x = a) = U 0 .
L’espace interconducteur est vide.
1 • Montrer que le champ électrique E , dans le vide, est
uniforme.
2 • Calculer E et V(x) .
A.N. : Calculer E avec U = 10 kV et a = 1 m .
3 • Un électron entre à l’instant initial en x = 0 avec une
vitesse initiale v 0 = v 0 u y , avec v 0 0 . Montrer que son
poids est négligeable devant la force électrique.
4 • Exprimer sa vitesse à tout instant et déterminer sa trajectoire. À quelle condition sur U son mouvement s’effectue-t-il dans l’espace interconducteur ?
5 • À quelle date sort-il de l’espace interconducteur ?
Exprimer alors sa vitesse v
➞
1 et sa position.
6 • On place en y = y 0 et x = a une fente très fine.
Montrer que ce dispositif permet de sélectionner des
électrons de vitesse v 0 donnée. Relier v 0 à y 0 .
Données :e= 1.6 10 –19 C
et masse de l’électron m = 9.1 10 –31 kg.
V = OV = 4
plan x = O
plan x = a
y v O
x
OA
a
o
y
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Conseils
1) Dans un premier temps montrer que E ne dépend
que d’une seule variable d’espace en étudiant les
invariances du problème. Appliquer ensuite le théorème de Gauss à une surface convenablement choisie.
2) Les seules données du problème sont les potentiels
en x = 0 et en x = a . Mais comme on a démontré
que E est uniforme, on peut calculer sa valeur en
exprimant sa circulation entre x = 0 et x = a . Il
faut bien détailler les calculs avec les grandeurs
vectorielles pour ne pas commettre d’erreur de
signe.
Conseils
3) Appliquer le principe fondamental de la dynamique à l’électron en tenant compte de l’approximation qui découle de la question précédente. Ne pas
oublierles constantes d’intégration.
4) L’électron est accéléré dans un sens opposé à celui
du champ E puisqu’il est chargé négativement, E
est toujours dirigé vers les potentiels décroissants.