©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
Tige conductrice soumise
à la force de Laplace
On considère le dispositif suivant où une tige conductrice,
supposée de résistance nulle, est libre de pivoter autour d’un
axe Mz orthogonal à la figure. Son autre extrémité N baigne dans un bain de mercure : on suppose que le mercure
(liquide métallique, excellent conducteur) n’introduit aucune résistance mécanique au mouvement de la barre.
L’ensemble est dans un champ magnétique B = – B e z ,
avec B 0 .
1 • Exprimer la résultante F des forces de Laplace sur la
tige conductrice. La représenter sur le schéma.
2 • Montrer que le point d’application A de la résultante
se trouve au milieu de la tige en calculant le moment résultant
➞
G M des forces de Laplace en M .
3 • Exprimer l’angle q à l’équilibre.
4 • A.N. : E = 2 V;R= 4 Ω ; B = 1 T;m= 100 g;
l = 1 m;g ≈ 10 m.s
–2
q
y
x
z
I
I
IM
E
R
N
y B = – By e z
y e r
y B
H g
y e q
12
Force de Laplace entre deux fils
Deux fils parallèles, rectilignes, considérés comme infinis,
distants de d, sont parcourus par un courant I dans le
même sens.
1 • Représenter la force de Laplace que l’un des fils exerce sur une unité de longueur de l’autre fil .
2 • Les deux fils ont-ils tendance à se rapprocher ou
s’éloigner ?
3 • Rappeler la définition de l’ampère.
(1)
(2)
1 m
x
y
II
d
11
EXERCICES
Force de Lorentz
4
494
Conseils
1) a) Utiliser la conservation de l’énergie.
b) Comment est dirigée la force qui agit sur la particule ? Que peut-on en conclure ?
2) a) Que vaut le moment de la force électrique ?
b) Utiliser le triangle A 1 I 1 C pour déterminer la relation entre les angles i 1 , a 1 et w 1 .
Exprimer ensuite la tangente de l’angle a 1 et celle de
w 1 en confondant S et la projection orthogonale de
I sur (Cz).P rocéder de même pour les angles i 2 ,
a 2 , etc. Les vitesses étant peu inclinées par rapport à
l’axe, tous ces angles sont petits.
Conseils
Chaque fil est soumis au champ magnétique créé par
l’autre fil .
On peut adopter soit les coordonnées cartésiennes,
soit les coordonnées polaires. La force de Laplace,
est définie par un produit vectoriel. Rappelons les
«règles » du produit vectoriel : soit une base «directe » e i , e j , e k alors
➞
e i ∧
➞
e k = –
➞
e k ∧
➞
e i = –
➞
e j ,
➞
e j ∧
➞
e i = –
➞
e k et
➞
e i ∧
➞
e k =
–
➞
e k ∧
➞
e i = –
➞
e j .
Il faut connaître par cœur le champ magnétique créé
par un fil infini (cela fait partie des INCONTOURNABLES), et savoir dans quel sens il s’enroule
autour du courant.
Conseils
1) On pourra travailler en coordonnées cylindriques
d’axe Mz . Le courant qui traverse la tige est dirigé
vers les « r » croissants donc le sens et la direction
de la force de Laplace est donnée par le produit vectoriel e
➞
r ∧ (– e
➞
z ) = e
➞
q .
2) Les actions de Laplace sont réparties sur toute la
tige de manière uniforme puisque le courant y est rectiligne et constant. Mais le moment des forces de
Laplace qui s’applique sur un élément d
➞ = dr e
➞
r de
la tige dépend de la distance au point M : il n’a pas
même valeur pour chaque élément de la tige. Il faut
donc procéder à une somme intégrale. Une fois le
moment résultant trouvé, on cherche à le mettre sous
la forme MA
➞ ∧ F
➞ : par identification on en déduit la
position du point A .
3) À l’équilibre la somme des moments en M de toutes les forces appliquées est nulle.
La photocopie non autorisée est un délit.
Tige conductrice soumise
à la force de Laplace
On considère le dispositif suivant où une tige conductrice,
supposée de résistance nulle, est libre de pivoter autour d’un
axe Mz orthogonal à la figure. Son autre extrémité N baigne dans un bain de mercure : on suppose que le mercure
(liquide métallique, excellent conducteur) n’introduit aucune résistance mécanique au mouvement de la barre.
L’ensemble est dans un champ magnétique B = – B e z ,
avec B 0 .
1 • Exprimer la résultante F des forces de Laplace sur la
tige conductrice. La représenter sur le schéma.
2 • Montrer que le point d’application A de la résultante
se trouve au milieu de la tige en calculant le moment résultant
➞
G M des forces de Laplace en M .
3 • Exprimer l’angle q à l’équilibre.
4 • A.N. : E = 2 V;R= 4 Ω ; B = 1 T;m= 100 g;
l = 1 m;g ≈ 10 m.s
–2
q
y
x
z
I
I
IM
E
R
N
y B = – By e z
y e r
y B
H g
y e q
12
Force de Laplace entre deux fils
Deux fils parallèles, rectilignes, considérés comme infinis,
distants de d, sont parcourus par un courant I dans le
même sens.
1 • Représenter la force de Laplace que l’un des fils exerce sur une unité de longueur de l’autre fil .
2 • Les deux fils ont-ils tendance à se rapprocher ou
s’éloigner ?
3 • Rappeler la définition de l’ampère.
(1)
(2)
1 m
x
y
II
d
11
EXERCICES
Force de Lorentz
4
494
Conseils
1) a) Utiliser la conservation de l’énergie.
b) Comment est dirigée la force qui agit sur la particule ? Que peut-on en conclure ?
2) a) Que vaut le moment de la force électrique ?
b) Utiliser le triangle A 1 I 1 C pour déterminer la relation entre les angles i 1 , a 1 et w 1 .
Exprimer ensuite la tangente de l’angle a 1 et celle de
w 1 en confondant S et la projection orthogonale de
I sur (Cz).P rocéder de même pour les angles i 2 ,
a 2 , etc. Les vitesses étant peu inclinées par rapport à
l’axe, tous ces angles sont petits.
Conseils
Chaque fil est soumis au champ magnétique créé par
l’autre fil .
On peut adopter soit les coordonnées cartésiennes,
soit les coordonnées polaires. La force de Laplace,
est définie par un produit vectoriel. Rappelons les
«règles » du produit vectoriel : soit une base «directe » e i , e j , e k alors
➞
e i ∧
➞
e k = –
➞
e k ∧
➞
e i = –
➞
e j ,
➞
e j ∧
➞
e i = –
➞
e k et
➞
e i ∧
➞
e k =
–
➞
e k ∧
➞
e i = –
➞
e j .
Il faut connaître par cœur le champ magnétique créé
par un fil infini (cela fait partie des INCONTOURNABLES), et savoir dans quel sens il s’enroule
autour du courant.
Conseils
1) On pourra travailler en coordonnées cylindriques
d’axe Mz . Le courant qui traverse la tige est dirigé
vers les « r » croissants donc le sens et la direction
de la force de Laplace est donnée par le produit vectoriel e
➞
r ∧ (– e
➞
z ) = e
➞
q .
2) Les actions de Laplace sont réparties sur toute la
tige de manière uniforme puisque le courant y est rectiligne et constant. Mais le moment des forces de
Laplace qui s’applique sur un élément d
➞ = dr e
➞
r de
la tige dépend de la distance au point M : il n’a pas
même valeur pour chaque élément de la tige. Il faut
donc procéder à une somme intégrale. Une fois le
moment résultant trouvé, on cherche à le mettre sous
la forme MA
➞ ∧ F
➞ : par identification on en déduit la
position du point A .
3) À l’équilibre la somme des moments en M de toutes les forces appliquées est nulle.