©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
Réfraction d’électrons
D’après ESEM C.
Des électrons, de masse m , de charge – e , sont émis avec
une vitesse initiale négligeable par une source M . Les forces de gravitation qui s’exercent sur eux sont complètement
négligeables devant les forces d’origine électrique. Le potentiel de la source M est choisi comme origine des potentiels.
1 • Des électrodes créent la répartition de potentiel suivante :
• le potentiel varie continûment de 0 à V 1 entre la source M et le plan d’équation z = z 1 < 0 ;
• pour z 1 < z < 0 , V(x , y , z) = V 1 constante positive ;
• pour z > a > 0 , V(x , y , z) = V 2 constante > V 1 ;
• dans la zone intermédiaire 0 z a , le potentiel varie
linéairement entre les valeurs V 1 et V 2 , et reste indépendant de x et de y .
On considère un électron qui se déplace dans le plan
(Oyz).Il arrive en z = 0 avec une vitesse v
➞
1 faisant l’angle i 1 avec (Oz) , puis passe en z = a avec une vitesse
v
➞
2 faisant l’angle i 2 avec (Oz) .
M
z 1
i 1
i 2
V 2
V 1
z
y
O
a
1
v
2
v
10
On rappelle que E
➞ = – grad
— ➞ V , ce qui s’écrit ici :
a) Établir une relation entre le module v de la vitesse de
cet électron et le potentiel V au point où il se trouve.
b) Déterminer la relation entre V 1 , V 2 , i 1 et i 2 .
c) Faire une analogie avec les lois de Descartes en optique
géométrique. Quelle grandeur joue ici le rôle de l’indice
de réfraction n ?
2 • Dans cette question, les surfaces équipotentielles sont
maintenant des calottes sphériques de même centre C , de
rayon r et d’axe de symétrie (Oz) .
On suppose que V = V 1 pour r R 1 et V = V 2 pour
r R 2 , V(r) variant de façon continue de V 1 à V 2 pour
R 1 r R 2 avec 0 V 1 V 2 .
La trajectoire d’un électron coupe l’axe (Oz) en A 1 dans
le milieu de potentiel V 1 et recoupe cet axe en A 2 dans
le milieu de potentiel V 2 . Elle «perce » les calottes de
centre C , de rayons R 1 et R 2 dont les sommets sur l’axe
sont S 1 et S 2 , respectivement en I 1 et I 2 .
Dans ce cas,
(en coordonnées sphériques).
a) On reprend l’étude pour un électron ayant une vitesse
v
➞
1 dans un plan méridien des calottes sphériques (celui de
la figure ci-dessus).
Montrer que le moment cinétique en C de cet électron est
constant.
En déduire une relation entre R 1 , R 2 , V 1 , V 2 et les angles
i 1 et i 2 définis sur la figure ci-dessus.
b) On suppose que S 1 S 2 << R 1 et S 1 S 2 << R 2 , et on admet
que S 1 et S 2 se confondent en un seul point S , de même
I 1 et I 2 sont alors confondus en un point I. Par ailleurs,
on suppose que les vitesses sont peu inclinées sur l’axe.
Déterminer les relations entre i 1 , w 1 et a 1 puis entre i 2 ,
w 2 et a 2 , angles orientés définis sur la figure.
Montrer que
K, où K est une constante
que l’on déterminera. Quelle analogie peut-on faire avec
l’optique géométrique ?
V
SA
V
SA
2
2
1
1
–
=
E
V
r
e r
➞
➞
=−
d
d
z
α 2
α 1
ω 1
ω 2
A 2
C
A 1
S 1
S 2
i 1
i 2
I 2
I 1
1
v
2
v
E
V
z
e z
➞
➞
=−
d
d
.
EXERCICES
Force de Lorentz
4
493
Conseils
Remarquons que v d est la vitesse de dérive. C’est
la dérive dans laquelle s’effectue la «dérive » des particules quelle que soit leur charge. Cette vitesse est
égale à v
➞
d =
y
y
E
B
∧
2
y
B
, ce qui donne ici :
v
➞
d =
=
e
➞
y
1) Écrire la relation fondamentale de la dynamique
sous la forme d’une équation différentielle en v
➞ , la
projeter sur les trois axes.
Introduire la variable u = x + iy .
2) Remplacer, dans la relation fondamentale de la
dynamique, E
➞ par son expression vectorielle en
fonction de v
➞
d et B
➞ . En déduire l’équation du mouvement dans le référentiel ′ .
On remarquera que ′ est un référentiel galiléen.
E
B
– Ee
➞
x ∧ Be
➞
z
B 2
La photocopie non autorisée est un délit.
Réfraction d’électrons
D’après ESEM C.
Des électrons, de masse m , de charge – e , sont émis avec
une vitesse initiale négligeable par une source M . Les forces de gravitation qui s’exercent sur eux sont complètement
négligeables devant les forces d’origine électrique. Le potentiel de la source M est choisi comme origine des potentiels.
1 • Des électrodes créent la répartition de potentiel suivante :
• le potentiel varie continûment de 0 à V 1 entre la source M et le plan d’équation z = z 1 < 0 ;
• pour z 1 < z < 0 , V(x , y , z) = V 1 constante positive ;
• pour z > a > 0 , V(x , y , z) = V 2 constante > V 1 ;
• dans la zone intermédiaire 0 z a , le potentiel varie
linéairement entre les valeurs V 1 et V 2 , et reste indépendant de x et de y .
On considère un électron qui se déplace dans le plan
(Oyz).Il arrive en z = 0 avec une vitesse v
➞
1 faisant l’angle i 1 avec (Oz) , puis passe en z = a avec une vitesse
v
➞
2 faisant l’angle i 2 avec (Oz) .
M
z 1
i 1
i 2
V 2
V 1
z
y
O
a
1
v
2
v
10
On rappelle que E
➞ = – grad
— ➞ V , ce qui s’écrit ici :
a) Établir une relation entre le module v de la vitesse de
cet électron et le potentiel V au point où il se trouve.
b) Déterminer la relation entre V 1 , V 2 , i 1 et i 2 .
c) Faire une analogie avec les lois de Descartes en optique
géométrique. Quelle grandeur joue ici le rôle de l’indice
de réfraction n ?
2 • Dans cette question, les surfaces équipotentielles sont
maintenant des calottes sphériques de même centre C , de
rayon r et d’axe de symétrie (Oz) .
On suppose que V = V 1 pour r R 1 et V = V 2 pour
r R 2 , V(r) variant de façon continue de V 1 à V 2 pour
R 1 r R 2 avec 0 V 1 V 2 .
La trajectoire d’un électron coupe l’axe (Oz) en A 1 dans
le milieu de potentiel V 1 et recoupe cet axe en A 2 dans
le milieu de potentiel V 2 . Elle «perce » les calottes de
centre C , de rayons R 1 et R 2 dont les sommets sur l’axe
sont S 1 et S 2 , respectivement en I 1 et I 2 .
Dans ce cas,
(en coordonnées sphériques).
a) On reprend l’étude pour un électron ayant une vitesse
v
➞
1 dans un plan méridien des calottes sphériques (celui de
la figure ci-dessus).
Montrer que le moment cinétique en C de cet électron est
constant.
En déduire une relation entre R 1 , R 2 , V 1 , V 2 et les angles
i 1 et i 2 définis sur la figure ci-dessus.
b) On suppose que S 1 S 2 << R 1 et S 1 S 2 << R 2 , et on admet
que S 1 et S 2 se confondent en un seul point S , de même
I 1 et I 2 sont alors confondus en un point I. Par ailleurs,
on suppose que les vitesses sont peu inclinées sur l’axe.
Déterminer les relations entre i 1 , w 1 et a 1 puis entre i 2 ,
w 2 et a 2 , angles orientés définis sur la figure.
Montrer que
K, où K est une constante
que l’on déterminera. Quelle analogie peut-on faire avec
l’optique géométrique ?
V
SA
V
SA
2
2
1
1
–
=
E
V
r
e r
➞
➞
=−
d
d
z
α 2
α 1
ω 1
ω 2
A 2
C
A 1
S 1
S 2
i 1
i 2
I 2
I 1
1
v
2
v
E
V
z
e z
➞
➞
=−
d
d
.
EXERCICES
Force de Lorentz
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Conseils
Remarquons que v d est la vitesse de dérive. C’est
la dérive dans laquelle s’effectue la «dérive » des particules quelle que soit leur charge. Cette vitesse est
égale à v
➞
d =
y
y
E
B
∧
2
y
B
, ce qui donne ici :
v
➞
d =
=
e
➞
y
1) Écrire la relation fondamentale de la dynamique
sous la forme d’une équation différentielle en v
➞ , la
projeter sur les trois axes.
Introduire la variable u = x + iy .
2) Remplacer, dans la relation fondamentale de la
dynamique, E
➞ par son expression vectorielle en
fonction de v
➞
d et B
➞ . En déduire l’équation du mouvement dans le référentiel ′ .
On remarquera que ′ est un référentiel galiléen.
E
B
– Ee
➞
x ∧ Be
➞
z
B 2