©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
B
➞ . Souvent, les particules sont émises dans la direction
perpendiculaire à E
➞ et B
➞ .
Le dispositif présenté ici offre la particularité d’une injection de particules qui se fait principalement dans la direction de B
➞ (s’il est couplé à une source d’ions où règne un
champ magnétique intense, la dispersion des vitesses lors
de l’injection est réduite). L’espace est rapporté au référentiel galiléen (O ; x , y , z). Les champs magnétique et
électrique sont B
➞ = Be
➞
z et E
➞ = – Ee
➞
x , E et B étant
deux constantes positives. Des ions de charge électrique
q positive et de masse m sont injectés à l’instant t = 0
à l’origine du référentiel avec le vecteur vitesse :
v
➞
0 (v 0x , v 0y , v 0z ) .
On pose
(pulsation cyclotron) et
1 • a) Déterminer les expressions en fonction du temps
des composantes v x , v y et v z du vecteur vitesse v
➞
(P) /
d’un ion P de coordonnées x , y et z , les paramètres
étant w , v d , v 0x , v 0y et v 0z .
b) En déduire les expressions de x , y et z en fonction du
temps.
c) Compte tenu du dispositif et du fait que l’injection se
fait principalement dans la direction des z , on a:
|v 0x | << v d – v 0y < v 0z ,
condition que l’on supposera remplie dans toute la suite.
Donner l’allure de la trajectoire de H , projection orthogonale de P dans le plan (xOy) .
Déterminer en particulier l’écart maximal de la courbe par
rapport à l’axe (Oy) . On constatera que la mesure de cet
écart permet la détermination de la charge spécifique
des ions.
Que dire du choix de E et B pour que cette mesure ne
dépende pas en pratique des conditions d’injection des
ions ?
d) Soit ′ le référentiel (O′ ; x′ , y′ , z′) déduit de par
la translation de vecteur v
➞
d . Sachant que ′ coïncide
avec à l’instant t = 0 , établir l’équation cartésienne de
la projection sur (x′O′y′) de la trajectoire de P dans ′ .
2 • D’après la question précédente, l’étude du mouvement
dans ′ conduit à des résultats plus simples que dans .
On se propose de montrer que ces résultats peuvent être
obtenus de manière plus directe.
a) Donner l’expression vectorielle de v
➞
d en fonction de
E
➞ et
➞
B.
Écrire la relation fondamentale de la dynamique dans
à l’aide du vecteur v
➞
(P) /′ de P dans ′ . Quel constat
peut-on dresser ?
b) Dans ces conditions, retrouver rapidement le type de
trajectoire que décrit P .
q
m
v d
➞
➞
=
E
B
e y .
ω =
qB
m
a) Montrer que le mouvement suivant (Oz) n’est pas
modifié par rapport à celui de la question 1).
b) On étudie maintenant le mouvement projeté dans le
plan (xOy) . Montrer que l’électron n’est piégé que si B 0
est supérieur à une certaine valeur B c à déterminer en
fonction des données de l’exercice (on établira pour cela
l’équation différentielle vérifiée par r = x + iy). Effectuer
l’application numérique.
Dans la suite du problème, on prendra B 0 = 0,55 T.
c) Résoudre alors l’équation en r sans chercher à déterminer les constantes d’intégration. Mettre en évidence
deux pulsations : l’une, voisine de w c , que l’on notera
w¢ c , et l’autre notée w m et appelée «pulsation magnétron ».
Calculer la fréquence magnétron n m associée à w m et la
fréquence n¢ c associée à w¢ c . Conclure.
d) On peut alors considérer le mouvement de l’électron
dans le piège comme la superposition de trois mouvements :
• oscillations suivant l’axe (Oz);
• entraînement ou dérive sur un cercle de rayon r m à la
fréquence magnétron dans le plan (xOy);
• rotation cyclotronique de rayon r c ; on admet que r c est
beaucoup plus faible que r m .
Représenter ces trois mouvements sur un même schéma,
puis essayer de tracer l’allure de la trajectoire de l’électron.
Spectromètre de masse
D’après ENAC.
Dans la plupart des spectromètres de masse et des analyseurs, les particules chargées, dont on veut déterminer les
caractéristiques (charge spécifique
énergie), se
déplacent dans une région de l’espace où règnent des
champs statiques et uniformes croisés de vecteurs E
➞ et
q
m
,
9
EXERCICES
Force de Lorentz
4
492
Conseils
1) Utiliser la relation fondamentale de la dynamique
projetée sur les trois axes et raisonner sur l’allure des
solutions des équations différentielles obtenues. Il
est délicat ici de raisonner sur l’énergie potentielle,
car c’est une fonction de trois variables. Attention au
signe de la charge.
2) Utiliser la méthode habituelle : projeter la relation
fondamentale de la dynamique sur les axes (Ox) et
(Oy) (équations (1) et (2)). Effectuer (1) + i(2) pour
déterminer l’équation différentielle vérifiée par r .
L’électron ne sera piégé que si le module de r est
borné.
La photocopie non autorisée est un délit.
B
➞ . Souvent, les particules sont émises dans la direction
perpendiculaire à E
➞ et B
➞ .
Le dispositif présenté ici offre la particularité d’une injection de particules qui se fait principalement dans la direction de B
➞ (s’il est couplé à une source d’ions où règne un
champ magnétique intense, la dispersion des vitesses lors
de l’injection est réduite). L’espace est rapporté au référentiel galiléen (O ; x , y , z). Les champs magnétique et
électrique sont B
➞ = Be
➞
z et E
➞ = – Ee
➞
x , E et B étant
deux constantes positives. Des ions de charge électrique
q positive et de masse m sont injectés à l’instant t = 0
à l’origine du référentiel avec le vecteur vitesse :
v
➞
0 (v 0x , v 0y , v 0z ) .
On pose
(pulsation cyclotron) et
1 • a) Déterminer les expressions en fonction du temps
des composantes v x , v y et v z du vecteur vitesse v
➞
(P) /
d’un ion P de coordonnées x , y et z , les paramètres
étant w , v d , v 0x , v 0y et v 0z .
b) En déduire les expressions de x , y et z en fonction du
temps.
c) Compte tenu du dispositif et du fait que l’injection se
fait principalement dans la direction des z , on a:
|v 0x | << v d – v 0y < v 0z ,
condition que l’on supposera remplie dans toute la suite.
Donner l’allure de la trajectoire de H , projection orthogonale de P dans le plan (xOy) .
Déterminer en particulier l’écart maximal de la courbe par
rapport à l’axe (Oy) . On constatera que la mesure de cet
écart permet la détermination de la charge spécifique
des ions.
Que dire du choix de E et B pour que cette mesure ne
dépende pas en pratique des conditions d’injection des
ions ?
d) Soit ′ le référentiel (O′ ; x′ , y′ , z′) déduit de par
la translation de vecteur v
➞
d . Sachant que ′ coïncide
avec à l’instant t = 0 , établir l’équation cartésienne de
la projection sur (x′O′y′) de la trajectoire de P dans ′ .
2 • D’après la question précédente, l’étude du mouvement
dans ′ conduit à des résultats plus simples que dans .
On se propose de montrer que ces résultats peuvent être
obtenus de manière plus directe.
a) Donner l’expression vectorielle de v
➞
d en fonction de
E
➞ et
➞
B.
Écrire la relation fondamentale de la dynamique dans
à l’aide du vecteur v
➞
(P) /′ de P dans ′ . Quel constat
peut-on dresser ?
b) Dans ces conditions, retrouver rapidement le type de
trajectoire que décrit P .
q
m
v d
➞
➞
=
E
B
e y .
ω =
qB
m
a) Montrer que le mouvement suivant (Oz) n’est pas
modifié par rapport à celui de la question 1).
b) On étudie maintenant le mouvement projeté dans le
plan (xOy) . Montrer que l’électron n’est piégé que si B 0
est supérieur à une certaine valeur B c à déterminer en
fonction des données de l’exercice (on établira pour cela
l’équation différentielle vérifiée par r = x + iy). Effectuer
l’application numérique.
Dans la suite du problème, on prendra B 0 = 0,55 T.
c) Résoudre alors l’équation en r sans chercher à déterminer les constantes d’intégration. Mettre en évidence
deux pulsations : l’une, voisine de w c , que l’on notera
w¢ c , et l’autre notée w m et appelée «pulsation magnétron ».
Calculer la fréquence magnétron n m associée à w m et la
fréquence n¢ c associée à w¢ c . Conclure.
d) On peut alors considérer le mouvement de l’électron
dans le piège comme la superposition de trois mouvements :
• oscillations suivant l’axe (Oz);
• entraînement ou dérive sur un cercle de rayon r m à la
fréquence magnétron dans le plan (xOy);
• rotation cyclotronique de rayon r c ; on admet que r c est
beaucoup plus faible que r m .
Représenter ces trois mouvements sur un même schéma,
puis essayer de tracer l’allure de la trajectoire de l’électron.
Spectromètre de masse
D’après ENAC.
Dans la plupart des spectromètres de masse et des analyseurs, les particules chargées, dont on veut déterminer les
caractéristiques (charge spécifique
énergie), se
déplacent dans une région de l’espace où règnent des
champs statiques et uniformes croisés de vecteurs E
➞ et
q
m
,
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EXERCICES
Force de Lorentz
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Conseils
1) Utiliser la relation fondamentale de la dynamique
projetée sur les trois axes et raisonner sur l’allure des
solutions des équations différentielles obtenues. Il
est délicat ici de raisonner sur l’énergie potentielle,
car c’est une fonction de trois variables. Attention au
signe de la charge.
2) Utiliser la méthode habituelle : projeter la relation
fondamentale de la dynamique sur les axes (Ox) et
(Oy) (équations (1) et (2)). Effectuer (1) + i(2) pour
déterminer l’équation différentielle vérifiée par r .
L’électron ne sera piégé que si le module de r est
borné.