©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
Déviation dans e
e
E et e e
B croisés
(oral) (écrit – centrale 2001)
On considère une particule de masse m de charge q .
On la place dans les champs uniformes
➞
E = Ee
➞
z et
➞
B = Be
➞
y . La particule est initialement en O avec une
vitesse nulle. On pose w c =
et on néglige le poids.
1 • Montrer que la vitesse s’écrit
v x =
(cos w c t – 1) v y = 0 v z =
sin w c t
2 • Quelle est la nature de la trajectoire obtenue ? La tracer approximativement pour un électron puis pour un
proton.
3 • On définit A comme le point où z atteint son premier
extremum. Déterminer les coordonnées de A .
4 • Cette fois-ci la vitesse initiale est selon Ox . Trouver
une condition sur E et B pour que le mouvement soit
exclusivement selon Ox .
E
B
E
B
y
E
y
B
z
y
x
qB
m
7
*Électron dans un piège
de Penning
D’après ENSI M.
Des expériences récentes de physique atomique ont pu
porter sur un électron unique. Le but de cet exercice est
d’expliquer sommairement comment il est possible de piéger un électron dans une toute petite région de l’espace par
un «piège de Penning ».
Grâce à un dispositif approprié, on crée dans une petite
région de l’espace, au voisinage d’un point O , un champ
électrostatique défini en coordonnées cartésiennes par :
Un électron (masse m , charge – e) est mobile autour du
point O .
1 • Montrer que O est une position d’équilibre de
l’électron et discuter sa stabilité pour un mouvement le
long de l’axe (Oz) ou dans le plan (xOy) .
On posera
Données :e=1,6.10 –19 C; m = 9,1.10 –31 kg ; U 0 = 9,3 V;
R = 4,8 mm.
Calculer la fréquence n z associée à la pulsation w z .
2 • Pour stabiliser la trajectoire de l’électron, on superpose au champ électrostatique précédent un champ magnétique uniforme, indépendant du temps, parallèle à l’axe
(Oz),B
➞
0 =B 0 e
➞
z .
On pose ω c = e
B
m
0
.
ω z
eU
mR
2
0
2
=
.
EM
U
R
xe ye
ze
xy
z
➞
➞➞
➞
()
(
) .
=−
−+
0
2
2
2
8
EXERCICES
Force de Lorentz
4
491
Conseils
1) Utiliser les résultats du cours.
2) Quand le proton est sur le n ième demi-cercle, combien de fois a-t-il traversé la zone accélératrice ?
Quelle énergie a-t-il gagné à chaque passage ? En
déduire la vitesse du proton sur le n ième demi-cercle
puis le rayon de ce demi-cercle.
3) a) Calculer le travail de la force électrique au cours
de la traversée de la zone accélératrice en tenant
compte des hypothèses du texte.
c) Évaluer les valeurs extrêmes du terme :
= sinc 2
g
r
. Conclure.
Conseils
1) Le champ E accélère la particule qui acquiert une
vitesse : elle est alors déviée par le champ B . Pour
écrire convenablement les équations du mouvement
il faut se placer à un instant quelconque et considérer que la vitesse de la particule a, a priori, trois composantes différentes de zéro. La projection de la relation fondamentale de la dynamique sur les trois axes
donne trois équations différentielles. Les deux équations différentielles en v x et v z sont couplées : une
méthode rapide et élégante consiste à introduire la
variable u
➞ = v
➞
x + i v
➞
z .
2) Intégrer v x et v z pour obtenir x(t) et z(t) . Ne
pas oublierl es constantes d’intégration qu’on
détermine grâce aux conditions initiales.
4) Pour que la particule garde son vecteur vitesse
selon Ox à un instant ultérieur, il faut qu’aucune
force ne l’accélère selon Oz .
sin 2
g
r
2
g
r
La photocopie non autorisée est un délit.
Déviation dans e
e
E et e e
B croisés
(oral) (écrit – centrale 2001)
On considère une particule de masse m de charge q .
On la place dans les champs uniformes
➞
E = Ee
➞
z et
➞
B = Be
➞
y . La particule est initialement en O avec une
vitesse nulle. On pose w c =
et on néglige le poids.
1 • Montrer que la vitesse s’écrit
v x =
(cos w c t – 1) v y = 0 v z =
sin w c t
2 • Quelle est la nature de la trajectoire obtenue ? La tracer approximativement pour un électron puis pour un
proton.
3 • On définit A comme le point où z atteint son premier
extremum. Déterminer les coordonnées de A .
4 • Cette fois-ci la vitesse initiale est selon Ox . Trouver
une condition sur E et B pour que le mouvement soit
exclusivement selon Ox .
E
B
E
B
y
E
y
B
z
y
x
qB
m
7
*Électron dans un piège
de Penning
D’après ENSI M.
Des expériences récentes de physique atomique ont pu
porter sur un électron unique. Le but de cet exercice est
d’expliquer sommairement comment il est possible de piéger un électron dans une toute petite région de l’espace par
un «piège de Penning ».
Grâce à un dispositif approprié, on crée dans une petite
région de l’espace, au voisinage d’un point O , un champ
électrostatique défini en coordonnées cartésiennes par :
Un électron (masse m , charge – e) est mobile autour du
point O .
1 • Montrer que O est une position d’équilibre de
l’électron et discuter sa stabilité pour un mouvement le
long de l’axe (Oz) ou dans le plan (xOy) .
On posera
Données :e=1,6.10 –19 C; m = 9,1.10 –31 kg ; U 0 = 9,3 V;
R = 4,8 mm.
Calculer la fréquence n z associée à la pulsation w z .
2 • Pour stabiliser la trajectoire de l’électron, on superpose au champ électrostatique précédent un champ magnétique uniforme, indépendant du temps, parallèle à l’axe
(Oz),B
➞
0 =B 0 e
➞
z .
On pose ω c = e
B
m
0
.
ω z
eU
mR
2
0
2
=
.
EM
U
R
xe ye
ze
xy
z
➞
➞➞
➞
()
(
) .
=−
−+
0
2
2
2
8
EXERCICES
Force de Lorentz
4
491
Conseils
1) Utiliser les résultats du cours.
2) Quand le proton est sur le n ième demi-cercle, combien de fois a-t-il traversé la zone accélératrice ?
Quelle énergie a-t-il gagné à chaque passage ? En
déduire la vitesse du proton sur le n ième demi-cercle
puis le rayon de ce demi-cercle.
3) a) Calculer le travail de la force électrique au cours
de la traversée de la zone accélératrice en tenant
compte des hypothèses du texte.
c) Évaluer les valeurs extrêmes du terme :
= sinc 2
g
r
. Conclure.
Conseils
1) Le champ E accélère la particule qui acquiert une
vitesse : elle est alors déviée par le champ B . Pour
écrire convenablement les équations du mouvement
il faut se placer à un instant quelconque et considérer que la vitesse de la particule a, a priori, trois composantes différentes de zéro. La projection de la relation fondamentale de la dynamique sur les trois axes
donne trois équations différentielles. Les deux équations différentielles en v x et v z sont couplées : une
méthode rapide et élégante consiste à introduire la
variable u
➞ = v
➞
x + i v
➞
z .
2) Intégrer v x et v z pour obtenir x(t) et z(t) . Ne
pas oublierl es constantes d’intégration qu’on
détermine grâce aux conditions initiales.
4) Pour que la particule garde son vecteur vitesse
selon Ox à un instant ultérieur, il faut qu’aucune
force ne l’accélère selon Oz .
sin 2
g
r
2
g
r