©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
près et avec une phase f 0 . Cet espace a une largeur g de
l’ordre de 1 cm, et il est nécessaire de tenir compte, au cours
de sa traversée, de la variation du champ accélérateur.
a) Montrer que le gain en énergie pour une orbite située à
une distance r du centre du cyclotron est :
W
en admettant que, dans l’espace accélérateur :
, on peut écrire x = v t , où v = w r est la
vitesse des protons sensiblement constante dans l’intervalle
g (g r) .
b) Quelle valeur s’efforcera-t-on d’obtenir pour f 0 ?
c) En faisant les approximations convenables, calculer
l’énergie cinétique K obtenue à la sortie du cyclotron,
c’est-à-dire après la n ième demi-orbite avec la valeur de
f 0 obtenue à la question 3) b). On l’exprimera en joules,
puis en mégaélectronvolts (symbole : MeV).
d) Les protons arrivent à la sortie par paquets séparés les uns
des autres par le même intervalle de temps, alors que l’injection se fait de façon continue au centre de l’accélérateur.
Expliquer l’origine de ces paquets.
Calculer l’intervalle de temps séparant deux paquets de
protons. On garde les valeurs numériques de la question 2).
−
g x
g
22
eU
g
r
g
r
=
c
sin
sin ,
2
2
0
φ
électro-aimant
dee
g
B 0
u c
Cyclotron
D’après Concours Communs Polytechnique.
On étudie un cyclotron destiné à accélérer des protons. Les
protons sont injectés au centre avec une énergie cinétique
négligeable. Un générateur permet d’appliquer entre les
dees une tension alternative à haute fréquence :
u c = U c sin(w t + j) , créant un champ électrique uniforme,
On admettra que les protons sont accélérés une première
fois sur la distance g avant de décrire le premier demicercle.
1 • Sachant que la masse du proton est m p et sa charge
+ e , calculer la fréquence v c du champ électrique.
Données :m p =1,6.10 –27 kg ; e = 1,6 10 –19 C; B 0 = 1,5 T.
2 • En négligeant l’épaisseur g de l’espace accélérateur,
calculer le rayon r n du n ième demi-cercle décrit par les
protons. On suppose qu’à la sortie de la source, ils traversent l’espace accélérateur lorsque u c = U c .
Données :U c =50 kV ; n = 400.
3 • En réalité les protons traversent le plan médiateur de
l’espace accélérateur à un instant t c tel que w t c = 0 à kπ
E
u
g
e x
➞
➞
=
c
.
6
EXERCICES
Force de Lorentz
4
490
Conseils
1) C’est du cours incontournable !!
2)
est homogène à une énergie potentielle
puisque l est une charge linéique (on pourra aussi
utiliser l’expression précédente de E ), le reste suit.
3) Il est facile de justifier ici, par des raisons de symétrie, que le mouvement est à force centrale, qui possède donc ses deux caractéristiques : mouvement plan
et loi des aires.
4) Dès qu’il s’agit de v et à plus forte raison de v 2 ,
il faut penser à appliquer le théorème de l’énergie
cinétique.
5) La vitesse v ne se réduit pas à sa composante
radiale ; mais on «élimine » facilement la composante orthoradiale, qui dépend de
, en utilisant la
loi des aires.
6)
.
r
2
est nécessairement positif : les seules valeurs
possibles pour U(r) sont donc négatives. On en
déduit la nature des trajectoires selon les valeurs de
a et b en suivant le raisonnement vu dans le problème à deux corps.
dq
dt
lq
2π e 0
La photocopie non autorisée est un délit.
près et avec une phase f 0 . Cet espace a une largeur g de
l’ordre de 1 cm, et il est nécessaire de tenir compte, au cours
de sa traversée, de la variation du champ accélérateur.
a) Montrer que le gain en énergie pour une orbite située à
une distance r du centre du cyclotron est :
W
en admettant que, dans l’espace accélérateur :
, on peut écrire x = v t , où v = w r est la
vitesse des protons sensiblement constante dans l’intervalle
g (g r) .
b) Quelle valeur s’efforcera-t-on d’obtenir pour f 0 ?
c) En faisant les approximations convenables, calculer
l’énergie cinétique K obtenue à la sortie du cyclotron,
c’est-à-dire après la n ième demi-orbite avec la valeur de
f 0 obtenue à la question 3) b). On l’exprimera en joules,
puis en mégaélectronvolts (symbole : MeV).
d) Les protons arrivent à la sortie par paquets séparés les uns
des autres par le même intervalle de temps, alors que l’injection se fait de façon continue au centre de l’accélérateur.
Expliquer l’origine de ces paquets.
Calculer l’intervalle de temps séparant deux paquets de
protons. On garde les valeurs numériques de la question 2).
−
g x
g
22
eU
g
r
g
r
=
c
sin
sin ,
2
2
0
φ
électro-aimant
dee
g
B 0
u c
Cyclotron
D’après Concours Communs Polytechnique.
On étudie un cyclotron destiné à accélérer des protons. Les
protons sont injectés au centre avec une énergie cinétique
négligeable. Un générateur permet d’appliquer entre les
dees une tension alternative à haute fréquence :
u c = U c sin(w t + j) , créant un champ électrique uniforme,
On admettra que les protons sont accélérés une première
fois sur la distance g avant de décrire le premier demicercle.
1 • Sachant que la masse du proton est m p et sa charge
+ e , calculer la fréquence v c du champ électrique.
Données :m p =1,6.10 –27 kg ; e = 1,6 10 –19 C; B 0 = 1,5 T.
2 • En négligeant l’épaisseur g de l’espace accélérateur,
calculer le rayon r n du n ième demi-cercle décrit par les
protons. On suppose qu’à la sortie de la source, ils traversent l’espace accélérateur lorsque u c = U c .
Données :U c =50 kV ; n = 400.
3 • En réalité les protons traversent le plan médiateur de
l’espace accélérateur à un instant t c tel que w t c = 0 à kπ
E
u
g
e x
➞
➞
=
c
.
6
EXERCICES
Force de Lorentz
4
490
Conseils
1) C’est du cours incontournable !!
2)
est homogène à une énergie potentielle
puisque l est une charge linéique (on pourra aussi
utiliser l’expression précédente de E ), le reste suit.
3) Il est facile de justifier ici, par des raisons de symétrie, que le mouvement est à force centrale, qui possède donc ses deux caractéristiques : mouvement plan
et loi des aires.
4) Dès qu’il s’agit de v et à plus forte raison de v 2 ,
il faut penser à appliquer le théorème de l’énergie
cinétique.
5) La vitesse v ne se réduit pas à sa composante
radiale ; mais on «élimine » facilement la composante orthoradiale, qui dépend de
, en utilisant la
loi des aires.
6)
.
r
2
est nécessairement positif : les seules valeurs
possibles pour U(r) sont donc négatives. On en
déduit la nature des trajectoires selon les valeurs de
a et b en suivant le raisonnement vu dans le problème à deux corps.
dq
dt
lq
2π e 0