2 •
On suppose M 1 «àdroite » du solénoïde, comme sur la figure, et on fixe en M 1 l’origine des z . La distance entre la
spire et M 1 est alors égale à (– z).Si on utilise l’expression
du champ créé par un dipôle magnétique (h >> a) en coordonnées polaires, on a alors r = – z , q = 0 et e
➞
r = e
➞
z et le
champ créé en M 1 par la tranche de cote z a pour expression :
d
➞
B = 2
=
Le champ total est obtenu par intégration :
dB
➞
soit :
Si M 1 est «àgauche » du solénoïde, on a alors :
r = + z , cosq = – 1 et e
➞
r = – e
➞
z .
L’expression finale de B
➞
(M 1 ) est inchangée, ce qui est en
accord avec le fait que le plan médian perpendiculaire à l’axe
Oz du solénoïde est un plan de symétrie pour les courants.
Dans le cas particulier du solénoïde à section circulaire de
rayon R , S =πR 2 et la valeur approchée du champ en M 1
est :
À grande distance, q 1 et q 2 tendent vers 0, et à l’ordre 2 en
q 1 , et q 2 , on a:
La valeur approchée et la valeur exacte sont bien équivalentes à grande distance.
3 •
M 2
z
dz
dp
P
O
r
e r
e
θ
α
α
θ
0
cos
cos
tan
tan
.
θθθθ
θθ
12
2
2
1
22
2
2
1
1
2
1
2
−≈
−
(
) ≈− (
)
NI
e z
➞
tan
tan
.
0
2
2
2
1
4
=
−
(
)
µ
θθ
BM
➞
() 1
BM
NI R
h
R
h
e z
➞
➞
()
()
1
0
2
2
2
2
4
=− +
µ
BM
NIS
hh
e z
➞
➞
()
()
.
1
0
22
4
11
=− +
µ
π
z = – (h + )
– h
BM
➞
() 1 =
d
NIS
z
ze z
➞
−
µ 0
3
2π()
.
d
➞
(– z) 3
m 0
4π
z
M 1
(z = 0)
– h
(– z) > 0
dz
dp
q 2
q 1
Le plan passant par M 2 et perpendiculaire à Oz est un plan
de symétrie des courants, donc B
➞ est orthogonal à ce plan :
B
➞ (M 2 ) = B z e
➞
z .
On place cette fois l’origine O des coordonnées dans le plan
de symétrie.
La tranche de cote z se comporte comme un dipôle (r >> a)
et crée en M 2 un champ :
Avec les notations précisées sur le schéma :
PM 2 =
q = a +
(2cosq r
e r + sinq r
e q ). r
e z = 2sin 2 a – cos 2 a.
On ne calcule que la composante dB z :
Par intégration B
➞ = dB z e
➞
z ,
soit :
=
sin a 0 (– cos 2 a 0 ) e
➞
z .
Si << r, le solénoïde se comporte comme un dipôle de
moment magnétique NIS .
Si >> r, on retrouve le modèle du solénoïde infiniment
long, pour lequel le champ B
➞ est nul à l’extérieur.
Flux d’une petite spire
à travers une grande spire
1 • Soit une spire de rayon R d’axe Oz , de centre C et un
dipôle magnétique de moment magnétique
➞
m = me
➞
z =
Iπ a 2 e
➞
z placé en O . On pose OC = d .
13
()
.
µ 0
22
3
2
2
4
=−
+
NIS
r
e z
➞
π
m 0 NIS
2πr 2
B
NIS
r
e z
➞
➞
=
−
(
)
m
aa
0
2
3
00
2 π
sin
sin
.
a= – a 0
a 0
d
d
B
NIS
r
z =
−
(
)
µα α
αα
0
2
22
4
2
cos
sin
cos
.
π
π
2
r
zr
z
r
cos
;t an ,
cos
;
α
α
α
α
=
=
d’où dd 2
d
d
B
NISz
PM
ee r
➞
➞➞
=
+
µ
θθ θ
0
2
3
4
2
π
cos
sin
.
CORRIGÉS
Dipôles électrique et magnétique
3
482
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
On suppose M 1 «àdroite » du solénoïde, comme sur la figure, et on fixe en M 1 l’origine des z . La distance entre la
spire et M 1 est alors égale à (– z).Si on utilise l’expression
du champ créé par un dipôle magnétique (h >> a) en coordonnées polaires, on a alors r = – z , q = 0 et e
➞
r = e
➞
z et le
champ créé en M 1 par la tranche de cote z a pour expression :
d
➞
B = 2
=
Le champ total est obtenu par intégration :
dB
➞
soit :
Si M 1 est «àgauche » du solénoïde, on a alors :
r = + z , cosq = – 1 et e
➞
r = – e
➞
z .
L’expression finale de B
➞
(M 1 ) est inchangée, ce qui est en
accord avec le fait que le plan médian perpendiculaire à l’axe
Oz du solénoïde est un plan de symétrie pour les courants.
Dans le cas particulier du solénoïde à section circulaire de
rayon R , S =πR 2 et la valeur approchée du champ en M 1
est :
À grande distance, q 1 et q 2 tendent vers 0, et à l’ordre 2 en
q 1 , et q 2 , on a:
La valeur approchée et la valeur exacte sont bien équivalentes à grande distance.
3 •
M 2
z
dz
dp
P
O
r
e r
e
θ
α
α
θ
0
cos
cos
tan
tan
.
θθθθ
θθ
12
2
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➞
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µ
BM
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1
0
22
4
11
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µ
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z = – (h + )
– h
BM
➞
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NIS
z
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➞
−
µ 0
3
2π()
.
d
➞
(– z) 3
m 0
4π
z
M 1
(z = 0)
– h
(– z) > 0
dz
dp
q 2
q 1
Le plan passant par M 2 et perpendiculaire à Oz est un plan
de symétrie des courants, donc B
➞ est orthogonal à ce plan :
B
➞ (M 2 ) = B z e
➞
z .
On place cette fois l’origine O des coordonnées dans le plan
de symétrie.
La tranche de cote z se comporte comme un dipôle (r >> a)
et crée en M 2 un champ :
Avec les notations précisées sur le schéma :
PM 2 =
q = a +
(2cosq r
e r + sinq r
e q ). r
e z = 2sin 2 a – cos 2 a.
On ne calcule que la composante dB z :
Par intégration B
➞ = dB z e
➞
z ,
soit :
=
sin a 0 (– cos 2 a 0 ) e
➞
z .
Si << r, le solénoïde se comporte comme un dipôle de
moment magnétique NIS .
Si >> r, on retrouve le modèle du solénoïde infiniment
long, pour lequel le champ B
➞ est nul à l’extérieur.
Flux d’une petite spire
à travers une grande spire
1 • Soit une spire de rayon R d’axe Oz , de centre C et un
dipôle magnétique de moment magnétique
➞
m = me
➞
z =
Iπ a 2 e
➞
z placé en O . On pose OC = d .
13
()
.
µ 0
22
3
2
2
4
=−
+
NIS
r
e z
➞
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2πr 2
B
NIS
r
e z
➞
➞
=
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)
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0
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2 π
sin
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.
a= – a 0
a 0
d
d
B
NIS
r
z =
−
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)
µα α
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2
22
4
2
cos
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.
π
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2
r
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;
α
α
α
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=
=
d’où dd 2
d
d
B
NISz
PM
ee r
➞
➞➞
=
+
µ
θθ θ
0
2
3
4
2
π
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sin
.
CORRIGÉS
Dipôles électrique et magnétique
3
482
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.