Doc. 1
Calculons le flux de
➞
B créé par le dipôle à travers la spire
avec les orientations choisies sur le schéma (doc. 1).
Choisissons une surface (S) quelconque s’appuyant sur la
spire : en effet
➞
B étant un vecteur à flux conservatif, le résulat est donc indépendant de la surface (S) mais ne dépend
que du contour (Γ) sur lequel elle s’appuie.
Soit un point M de l’espace repéré en coordonnées sphériques : M(r, q, j) . Nous savons que le champ magnétique
créé par un dipôle magnétique placé en O (avec
➞
m = m e
➞
z )
est :
➞
B(r, q, j) =
e
➞
r +
e
➞
q
Nous devons calculer l’intégrale suivante :
F =
S
e
➞
r +
e
➞
q .
➞
n dS .
Premier choix de surface
d = 2p r 2 sin qdq
rdq
r
r
dq
a
M
C
R
d
y
n = y e r
y
m
r
q
O
m sin q
r 3
m 0
4π
m cos q
r 3
2m 0
4π
m sin q
r 3
m 0
4π
m cos q
r 3
2m 0
4π
y e j
y e j
y
m
(S)
OC
z
y e r
y n
y e q
x
r
M
y
dS
j
q
Choisissons une surface telle que e
➞
q .
➞
n = 0 et e
➞
r =
➞
n , c’està-dire une surface sphérique de centre O s’appuyant sur la
spire de rayon R ; ainsi r = (R 2 + d 2 )
1
2 = constante.
La surface dΣ vue sur la sphère entre q et q + dq est :
dΣ = 2π r 2 sin q dq , et ainsi
F =
2π r 2
a
0
sin q cos q dq
=
sin 2 a =
car sin a =
;
soit F =
.
Second choix de surface
Prenons la surface plane de la spire :
Doc. 2
Avec les notations du doc. 2 ci-dessus :
dF =
2πr dr (2 cos q e
➞
r + sin q e
➞
q ) .
➞
n
avec
➞
n = e
➞
z ; e
➞
r .
➞
n = cos q ; e
➞
q .
➞
n = – sin q ; cos q =
tan q =
, ce qui donne r = d tan q et
dr = +
dq ;
dF =
m
× 2π d
(2 cos 2 q –sin 2 q)dq
=
(2 cos 2 q – sin 2 q)sin q dq
=
(3 cos 2 q – 1)sin q dq
F =
α
0
dF =
[– cos 3 q + cos q] 0
a
=
(cos a – cos 3 a) =
sin 2 a cos a
m 0 m
4πd
m 0 m
2d
m 0 m
2d
m
d
m 0
2
m
d
m 0
2
d
cos 2 q
sin q
cos q
cos 3 q
d 3
m 0
4π
d
cos 2 q
r
d
d
r
m
r 3
m 0
4π
y
m
y
n
O
y
e z
y
e r
O C
R
r
dr
r
dq
d
a
q
y
e q
m 0 Iπ a 2 R 2
2(R 2 + d 2 )
3
2
R
r
m 0 mR 2
2(R 2 + d 2 )
3
2
m 0 m
2r
m
r 3
2m 0
4π
CORRIGÉS
Dipôles électrique et magnétique
3
483
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
Calculons le flux de
➞
B créé par le dipôle à travers la spire
avec les orientations choisies sur le schéma (doc. 1).
Choisissons une surface (S) quelconque s’appuyant sur la
spire : en effet
➞
B étant un vecteur à flux conservatif, le résulat est donc indépendant de la surface (S) mais ne dépend
que du contour (Γ) sur lequel elle s’appuie.
Soit un point M de l’espace repéré en coordonnées sphériques : M(r, q, j) . Nous savons que le champ magnétique
créé par un dipôle magnétique placé en O (avec
➞
m = m e
➞
z )
est :
➞
B(r, q, j) =
e
➞
r +
e
➞
q
Nous devons calculer l’intégrale suivante :
F =
S
e
➞
r +
e
➞
q .
➞
n dS .
Premier choix de surface
d = 2p r 2 sin qdq
rdq
r
r
dq
a
M
C
R
d
y
n = y e r
y
m
r
q
O
m sin q
r 3
m 0
4π
m cos q
r 3
2m 0
4π
m sin q
r 3
m 0
4π
m cos q
r 3
2m 0
4π
y e j
y e j
y
m
(S)
OC
z
y e r
y n
y e q
x
r
M
y
dS
j
q
Choisissons une surface telle que e
➞
q .
➞
n = 0 et e
➞
r =
➞
n , c’està-dire une surface sphérique de centre O s’appuyant sur la
spire de rayon R ; ainsi r = (R 2 + d 2 )
1
2 = constante.
La surface dΣ vue sur la sphère entre q et q + dq est :
dΣ = 2π r 2 sin q dq , et ainsi
F =
2π r 2
a
0
sin q cos q dq
=
sin 2 a =
car sin a =
;
soit F =
.
Second choix de surface
Prenons la surface plane de la spire :
Doc. 2
Avec les notations du doc. 2 ci-dessus :
dF =
2πr dr (2 cos q e
➞
r + sin q e
➞
q ) .
➞
n
avec
➞
n = e
➞
z ; e
➞
r .
➞
n = cos q ; e
➞
q .
➞
n = – sin q ; cos q =
tan q =
, ce qui donne r = d tan q et
dr = +
dq ;
dF =
m
× 2π d
(2 cos 2 q –sin 2 q)dq
=
(2 cos 2 q – sin 2 q)sin q dq
=
(3 cos 2 q – 1)sin q dq
F =
α
0
dF =
[– cos 3 q + cos q] 0
a
=
(cos a – cos 3 a) =
sin 2 a cos a
m 0 m
4πd
m 0 m
2d
m 0 m
2d
m
d
m 0
2
m
d
m 0
2
d
cos 2 q
sin q
cos q
cos 3 q
d 3
m 0
4π
d
cos 2 q
r
d
d
r
m
r 3
m 0
4π
y
m
y
n
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y
e z
y
e r
O C
R
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dq
d
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q
y
e q
m 0 Iπ a 2 R 2
2(R 2 + d 2 )
3
2
R
r
m 0 mR 2
2(R 2 + d 2 )
3
2
m 0 m
2r
m
r 3
2m 0
4π
CORRIGÉS
Dipôles électrique et magnétique
3
483
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.