3 • Nous connaissons l’expression de l’énergie potentielle
d’un dipôle rigide (c’est le cas de
➞
p 0 ; p n’est pas un dipôle rigide) placé dans un champ permanent (celui créé par
➞
p ).
Si
➞
p 0 est placé en P de coordonnée x , l’énergie potentielle
s’écrit :
E p = –
➞
p 0 . E
➞ avec
➞
p 0 = p 0 e
➞
x
E
➞ =
e
➞
x le champ créé en
P par
➞
p = pe
➞
x
E p = –
et la force s’exerçant sur le dipôle
➞
p 0 situé en x = a est égale
à :
➞
F = (– p p
grad E p )
x = a
= –
e
➞
x , et en remplaçant p
par son expression :
➞
F =
–
e
➞
x
➞
p →
➞
p 0
Nous aurons de même d’après le principe des actions réciproques :
➞
F =
–
e
➞
x
➞
p 0 →
➞
p
Remarque :
Nous aurions pu faire un calcul direct : notons
➞
E(x) le champ
créé par le dipôle
➞
p en O :
➞
E (x) =
e
➞
x
Le dipôle
➞
p 0 est constitué de 2 charges :
– q 0 en a –
avec q 0 e = p 0
+ q 0 en a +
Ce dipôle est donc soumis à 2 forces :
➞
F = – q 0
➞
E a – + q 0
➞
E a +
= q 0 e
x = a
= p 0
or x = a
= x = a
=
et ainsi
➞
F = –
e
➞
x , ce qui conduit à nouveau à :
➞
F =
e
➞
x
4 •
y F
y F
– +– +
– 12a p 0
2
16π 2 e 0 a 7
6pp 0
4π e 0 a 4
– 6p
4π e 0 a 4
– 6p
4π e 0 x 4
dE
dx
e
➞
x
x = a
dE
dx
Z Z
dE
dx
e
2
e
2
e
2
e
2
1
x 3
2p
4π e 0
12 × p 0
2
16π 2 e 0 a 7
12 × p 0
2
16π 2 e 0 a 7
6pp 0
4π e 0 a 4
2pp 0
4π e 0 x 3
1
x 3
2p
4π e 0
Le dipôle présentant la charge positive vers la molécule polarisable déforme le nuage en attirant les électrons, entraînant
l’attraction entre les charges de signes contraires.
Si le dipôle présente la charge 0 vers la molécule polarisable, le nuage se déforme en repoussant les électrons, entraînant l’apparition de charges positives, par défaut, vers le
dipôle permanent : il y a encore attraction entre charges de
signes contraires.
Champs magnétiques
en un point du plan d’une spire
1 • B
➞
(M) =
m
4
0
π
I
dP
➞ ∧
est porté par (Oz)
(le plan xOy est un plan de symétrie des courants)
Nous obtenons
dP
➞ ∧
=
dj e
➞
z
puis
B
➞
(M) =
e
➞
z F(u) =
2 x
0
dj
2 • En se limitant aux termes en u 2 :
F(u) =
2π
0
[– u cos j + u 2 (I – 3 cos 2 j)]dj = – πu 2
soit B
➞
(M) =
e
➞
z = –
e
➞
z
Ce qui correspond bien au cas du dipôle q = .
π
2
m 0
4π x 3
m 0 Iπ a 2
4π x 3
u 2 – u cos j
(1 – 2 u cos j + u 2 )
3
2
m 0 I
4π x 3
a cos j (a cos j – x) + (a sin j) 2
(x 2 + a 2 – 2 axcos j)
3
2
PM
➞
PM 3
a cos j
OP
➞
= a sin j ;
0
x
OM
➞
=0;
0
x–acos j
PM
➞
= –asin j ;
0
–asinj dj
dP
➞ = a cos j dj
0
PM
➞
PM 3
y e PM
y
B = B y e z
x
y
z
M
C
O
P
a
I
j
10
y
F
y
F
+ –+ –
CORRIGÉS
Dipôles électrique et magnétique
3
480
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
d’un dipôle rigide (c’est le cas de
➞
p 0 ; p n’est pas un dipôle rigide) placé dans un champ permanent (celui créé par
➞
p ).
Si
➞
p 0 est placé en P de coordonnée x , l’énergie potentielle
s’écrit :
E p = –
➞
p 0 . E
➞ avec
➞
p 0 = p 0 e
➞
x
E
➞ =
e
➞
x le champ créé en
P par
➞
p = pe
➞
x
E p = –
et la force s’exerçant sur le dipôle
➞
p 0 situé en x = a est égale
à :
➞
F = (– p p
grad E p )
x = a
= –
e
➞
x , et en remplaçant p
par son expression :
➞
F =
–
e
➞
x
➞
p →
➞
p 0
Nous aurons de même d’après le principe des actions réciproques :
➞
F =
–
e
➞
x
➞
p 0 →
➞
p
Remarque :
Nous aurions pu faire un calcul direct : notons
➞
E(x) le champ
créé par le dipôle
➞
p en O :
➞
E (x) =
e
➞
x
Le dipôle
➞
p 0 est constitué de 2 charges :
– q 0 en a –
avec q 0 e = p 0
+ q 0 en a +
Ce dipôle est donc soumis à 2 forces :
➞
F = – q 0
➞
E a – + q 0
➞
E a +
= q 0 e
x = a
= p 0
or x = a
= x = a
=
et ainsi
➞
F = –
e
➞
x , ce qui conduit à nouveau à :
➞
F =
e
➞
x
4 •
y F
y F
– +– +
– 12a p 0
2
16π 2 e 0 a 7
6pp 0
4π e 0 a 4
– 6p
4π e 0 a 4
– 6p
4π e 0 x 4
dE
dx
e
➞
x
x = a
dE
dx
Z Z
dE
dx
e
2
e
2
e
2
e
2
1
x 3
2p
4π e 0
12 × p 0
2
16π 2 e 0 a 7
12 × p 0
2
16π 2 e 0 a 7
6pp 0
4π e 0 a 4
2pp 0
4π e 0 x 3
1
x 3
2p
4π e 0
Le dipôle présentant la charge positive vers la molécule polarisable déforme le nuage en attirant les électrons, entraînant
l’attraction entre les charges de signes contraires.
Si le dipôle présente la charge 0 vers la molécule polarisable, le nuage se déforme en repoussant les électrons, entraînant l’apparition de charges positives, par défaut, vers le
dipôle permanent : il y a encore attraction entre charges de
signes contraires.
Champs magnétiques
en un point du plan d’une spire
1 • B
➞
(M) =
m
4
0
π
I
dP
➞ ∧
est porté par (Oz)
(le plan xOy est un plan de symétrie des courants)
Nous obtenons
dP
➞ ∧
=
dj e
➞
z
puis
B
➞
(M) =
e
➞
z F(u) =
2 x
0
dj
2 • En se limitant aux termes en u 2 :
F(u) =
2π
0
[– u cos j + u 2 (I – 3 cos 2 j)]dj = – πu 2
soit B
➞
(M) =
e
➞
z = –
e
➞
z
Ce qui correspond bien au cas du dipôle q = .
π
2
m 0
4π x 3
m 0 Iπ a 2
4π x 3
u 2 – u cos j
(1 – 2 u cos j + u 2 )
3
2
m 0 I
4π x 3
a cos j (a cos j – x) + (a sin j) 2
(x 2 + a 2 – 2 axcos j)
3
2
PM
➞
PM 3
a cos j
OP
➞
= a sin j ;
0
x
OM
➞
=0;
0
x–acos j
PM
➞
= –asin j ;
0
–asinj dj
dP
➞ = a cos j dj
0
PM
➞
PM 3
y e PM
y
B = B y e z
x
y
z
M
C
O
P
a
I
j
10
y
F
y
F
+ –+ –
CORRIGÉS
Dipôles électrique et magnétique
3
480
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La photocopie non autorisée est un délit.