2 • a) Soit S ′ une surface extérieure à S et F le flux de
E
➞ à travers S ′ .
• La sphère conductrice possède une charge totale nulle ;
d’après le théorème de Gauss, F = 0 .
• Le dipôle possède une charge totale nulle ; d’après le théorème de Gauss, F = 0 .
Vis-à-vis de l’application du théorème de Gauss, les champs
créés par les deux systèmes sont bien équivalents à l’extérieur de S .
b) • Cas de la sphère conductrice : Le potentiel est uniforme
dans un domaine où le champ est nul. V a donc la même valeur
en tout point de la sphère conductrice ; le potentiel étant une
fonction continue des grandeurs d’espace, V est uniforme sur
toute la surface S considérée comme la limite extérieure de la
sphère.
• Cas du dipôle : Le potentiel est uniforme sur toute la surface S .
• Conclusion : Du point de vue de la propriété «potentiel uniforme sur S », les deux systèmes sont équivalents. On admet
que l’équivalence est totale pour tous les points extérieurs à
S .
c) À l’extérieur de la sphère (r ≈ R + ), E
➞ a la même valeur
pour les deux systèmes :
et E 0 =
d’où E r (R + ) = 3 E 0 cosq e
➞
r
E
➞ = 3 E 0 cosq e
➞
r .
À l’intérieur de la sphère, E
➞ = 0
➞ .
On sait par ailleurs que la discontinuité du champ est liée à la
densité de charges par :
Lignes de champ créées par la sphère conductrice
chargée avec s .
On en déduit que la densité superficielle de charge est
s = 3 e 0 E 0 cosq . D’où s 0 = 3e 0 E 0 .
E 0
–
–
–
–
–
–
–
–
+
+
+
+
+
+
+
+
x
ER
ER
e r
➞
➞
➞
(, )( ,)
.
–
+
−=
θθ
σ
ε 0
p
4πe 0 R 3
E
p
r
E
r =
+
cosq
e
2
4
3
0
π 0
Si E 0 > 0 , s > 0 sur la demi-sphère x > 0 , et s <0sur la
demi-sphère x <0.La charge totale est nulle.
3 • a) a rend compte de l’aptitude du nuage électronique de
la molécule à se déformer sous l’effet de E
➞
0 . C’est la polarisabilité de la distribution de charge. Son unité SI est le m 3 .
• Cette grandeur a été rencontrée dans le cours de chimie ; plus
le nuage électronique est «d iffus », plus il est déformable et
plus la molécule est polarisable. L’unité de a est en rapport
direct avec cette remarque.
b) On a vu en 2 qu’une sphère conductrice chargée en surface avec s = 3 e 0 E 0 cos q se comporte comme un dipôle de
moment
➞
p = 4pe 0 r 3 E
➞
0 lorsqu’elle est placée dans un
champ uniforme E
➞
0 . L’atome placé dans E
➞
0 voit donc son
nuage électronique se déformer et acquiert un moment dipolaire :
p
➞
i = 4 π e 0 r 0
3 E
➞
0 ,
soit une polarisabilité a = 4 π r 0
3 .
Pour un atome, r 0 ≈10 –10 m, et a ≈ 10 –29 m 3 .
a est relié aux caractéristiques géométriques de l’atome.
Interaction dipôle permanent –
dipôle induit
1 • Sachant que p = qa , [p] = QL .
Sachant que E
➞ =
, [e 0 E] = QL –2
Sachant que
➞
p = a e 0 E
➞ , [a] =
= L 3
a est donc homogène à un volume.
2 •
Soit le dipôle
➞
p 0 en P 0 (x = a) . Le champ créé en O par ce
dipôle est : E
➞
0 =
e
➞
x .
En effet, en coordonnées polaires avec origine en x = a , le
point O se trouve dans la direction q = π , le champ est selon
e
➞
r = – e
➞
x et cos q = – 1 .
Ainsi la molécule polarisable en O acquiert le moment
➞
p = a e 0 E 0 =
e
➞
x
soit
➞
p =
➞
p 0 .
Remarquons que a est bien homogène à un volume.
2a
4π a 3
ae 0 2p 0
4πe 0 a 3
2p 0
4πe 0 a 3
x= a
y E o
x = o
O
x
P o
y p o
y p = ae o y E o
QL
QL –2
q Y Y
OM
4πe 0 OM 3
9
CORRIGÉS
Dipôles électrique et magnétique
3
479
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
E
➞ à travers S ′ .
• La sphère conductrice possède une charge totale nulle ;
d’après le théorème de Gauss, F = 0 .
• Le dipôle possède une charge totale nulle ; d’après le théorème de Gauss, F = 0 .
Vis-à-vis de l’application du théorème de Gauss, les champs
créés par les deux systèmes sont bien équivalents à l’extérieur de S .
b) • Cas de la sphère conductrice : Le potentiel est uniforme
dans un domaine où le champ est nul. V a donc la même valeur
en tout point de la sphère conductrice ; le potentiel étant une
fonction continue des grandeurs d’espace, V est uniforme sur
toute la surface S considérée comme la limite extérieure de la
sphère.
• Cas du dipôle : Le potentiel est uniforme sur toute la surface S .
• Conclusion : Du point de vue de la propriété «potentiel uniforme sur S », les deux systèmes sont équivalents. On admet
que l’équivalence est totale pour tous les points extérieurs à
S .
c) À l’extérieur de la sphère (r ≈ R + ), E
➞ a la même valeur
pour les deux systèmes :
et E 0 =
d’où E r (R + ) = 3 E 0 cosq e
➞
r
E
➞ = 3 E 0 cosq e
➞
r .
À l’intérieur de la sphère, E
➞ = 0
➞ .
On sait par ailleurs que la discontinuité du champ est liée à la
densité de charges par :
Lignes de champ créées par la sphère conductrice
chargée avec s .
On en déduit que la densité superficielle de charge est
s = 3 e 0 E 0 cosq . D’où s 0 = 3e 0 E 0 .
E 0
–
–
–
–
–
–
–
–
+
+
+
+
+
+
+
+
x
ER
ER
e r
➞
➞
➞
(, )( ,)
.
–
+
−=
θθ
σ
ε 0
p
4πe 0 R 3
E
p
r
E
r =
+
cosq
e
2
4
3
0
π 0
Si E 0 > 0 , s > 0 sur la demi-sphère x > 0 , et s <0sur la
demi-sphère x <0.La charge totale est nulle.
3 • a) a rend compte de l’aptitude du nuage électronique de
la molécule à se déformer sous l’effet de E
➞
0 . C’est la polarisabilité de la distribution de charge. Son unité SI est le m 3 .
• Cette grandeur a été rencontrée dans le cours de chimie ; plus
le nuage électronique est «d iffus », plus il est déformable et
plus la molécule est polarisable. L’unité de a est en rapport
direct avec cette remarque.
b) On a vu en 2 qu’une sphère conductrice chargée en surface avec s = 3 e 0 E 0 cos q se comporte comme un dipôle de
moment
➞
p = 4pe 0 r 3 E
➞
0 lorsqu’elle est placée dans un
champ uniforme E
➞
0 . L’atome placé dans E
➞
0 voit donc son
nuage électronique se déformer et acquiert un moment dipolaire :
p
➞
i = 4 π e 0 r 0
3 E
➞
0 ,
soit une polarisabilité a = 4 π r 0
3 .
Pour un atome, r 0 ≈10 –10 m, et a ≈ 10 –29 m 3 .
a est relié aux caractéristiques géométriques de l’atome.
Interaction dipôle permanent –
dipôle induit
1 • Sachant que p = qa , [p] = QL .
Sachant que E
➞ =
, [e 0 E] = QL –2
Sachant que
➞
p = a e 0 E
➞ , [a] =
= L 3
a est donc homogène à un volume.
2 •
Soit le dipôle
➞
p 0 en P 0 (x = a) . Le champ créé en O par ce
dipôle est : E
➞
0 =
e
➞
x .
En effet, en coordonnées polaires avec origine en x = a , le
point O se trouve dans la direction q = π , le champ est selon
e
➞
r = – e
➞
x et cos q = – 1 .
Ainsi la molécule polarisable en O acquiert le moment
➞
p = a e 0 E 0 =
e
➞
x
soit
➞
p =
➞
p 0 .
Remarquons que a est bien homogène à un volume.
2a
4π a 3
ae 0 2p 0
4πe 0 a 3
2p 0
4πe 0 a 3
x= a
y E o
x = o
O
x
P o
y p o
y p = ae o y E o
QL
QL –2
q Y Y
OM
4πe 0 OM 3
9
CORRIGÉS
Dipôles électrique et magnétique
3
479
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.