6 • Les positions d’équilibre sont données par les extremas
de l’énergie potentielle :
on cherche z eq telle que z eq
= 0
(ou F z = 0 en z = z eq en d’autres termes !)
D’après ce qui précèdce on trouve :
2z 2 eq = R 2 ⇔ z eq = ±
7 • Considérons le développement limité à l’ordre 2 de E p
autour de z = z eq .
E p E p (z eq ) + z eq
2
puisque z eq
= 0
= – (F z )
=
z eq
=
×
puisque 2z 2
eq = R 2 !
si z eq = –
la position d’équilibre est instable
si z eq = +
la position d’équilibre est stable et
z eq
= k 0
Les petits écarts à la position d’équilibre obéissent à
l’équation différentielle d’un oscillateur harmonique de
pulsation
, m étant la masse du dipôle.
Posons x = z – z eq ; l’équation différentielle d’évolution de x
est :
m
= –
= – z = z eq
x
ou encore m
= – kx dont la pulsation w 0
d’évolution harmonique (ou sinusoïdale) est = w 0
2 = 1 .
*Un modèle de l’action
d’un champ électrique uniforme
sur une molécule
1 • a) Soit V 0 (M) le potentiel associé au champ uniforme
E
➞
0 .
8
k
m
d 2 x
dt 2
d 2 E p
dz 2
dE p (z)
dz
d 2 x
dt 2
k
m
d 2 E p
dz 2
R
12
R
12
4z eq
3
R
2
2
5
2
qp
4πe 0
d 2 E p
dz 2
4z(R 2 + z 2 )
5
2 – (2z 2 – R 2 ) × 5
2
(R 2 + z 2 ) × 2z
(R 2 + z 2 ) 5
qp
4πe 0
d
dz
d 2 E p
dz 2
dEp
dz
z – z eq
2
d 2 E p
dz 2
R
12
dE p
dz
E
➞
0 = E 0 e
➞
x = – p p
grad V 0 ; V 0 ne dépend donc que de la coordonnée cartésienne x , avec
d’où :
V 0 = – E 0 x +cte ;
ou encore, en coordonnées sphériques :
V 0 = – E 0 r cos q +cte .
Le potentiel créé par le dipôle est
Par superposition, le potentiel en M est donc :
b) E
➞ = – p
p
gradV
d’où :
et
c) E q = 0 si sinq = 0 , soit q = 0 ou π , c’est-à-dire sur l’axe
(Ox) ou si
La seconde relation conduit à
;
il s’agit, dans le plan du schéma, de l’équation d’un cercle de
rayon R ; comme le système est invariant par rotation autour
de l’axe (Ox) , la surface S recherchée est la réunion d’une
sphère de centre O et de rayon R , et le plan passant par
O perpendiculaire à
➞
p .
En tout point de S , E q = 0 et donc E
➞ = E r e
➞
r : E
➞ est normal
à S .Comme les surfaces équipotentielles sont les surfaces
normales au champ, on peut en déduire que S est une surface équipotentielle.
Remarque :C e résultat se retrouve directement à partir de
l’expression de V(M) .
Lignes de champ dues à la superposition de E
➞
0
et du champ du dipôle.
P
x
E 0
R
p
E
=
4
0
1
3
π 0
e
p
r
E
4
3
0
π 0
ε
= .
E
p
r
E
=−
sin
.
θ
ε
θ
4
3
0
π 0
E
p
r
E
r =
+
cosq
e
2
4
3
0
π 0
=−
−=
+
∂
∂
∂
∂
V
r
e r
V eE eE e
r
r r
➞➞
➞➞
1
q
q
q q ;
VM
p
r
Er
()
cos
cos
=−+
q
e
q
4
2
0
π 0
cte.
V
pe
r
r
dipôle =
➞➞
.
4
2
π 0
ε
.
E
V
x
0 =−
d
d
0
;
CORRIGÉS
Dipôles électrique et magnétique
3
478
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
de l’énergie potentielle :
on cherche z eq telle que z eq
= 0
(ou F z = 0 en z = z eq en d’autres termes !)
D’après ce qui précèdce on trouve :
2z 2 eq = R 2 ⇔ z eq = ±
7 • Considérons le développement limité à l’ordre 2 de E p
autour de z = z eq .
E p E p (z eq ) + z eq
2
puisque z eq
= 0
= – (F z )
=
z eq
=
×
puisque 2z 2
eq = R 2 !
si z eq = –
la position d’équilibre est instable
si z eq = +
la position d’équilibre est stable et
z eq
= k 0
Les petits écarts à la position d’équilibre obéissent à
l’équation différentielle d’un oscillateur harmonique de
pulsation
, m étant la masse du dipôle.
Posons x = z – z eq ; l’équation différentielle d’évolution de x
est :
m
= –
= – z = z eq
x
ou encore m
= – kx dont la pulsation w 0
d’évolution harmonique (ou sinusoïdale) est = w 0
2 = 1 .
*Un modèle de l’action
d’un champ électrique uniforme
sur une molécule
1 • a) Soit V 0 (M) le potentiel associé au champ uniforme
E
➞
0 .
8
k
m
d 2 x
dt 2
d 2 E p
dz 2
dE p (z)
dz
d 2 x
dt 2
k
m
d 2 E p
dz 2
R
12
R
12
4z eq
3
R
2
2
5
2
qp
4πe 0
d 2 E p
dz 2
4z(R 2 + z 2 )
5
2 – (2z 2 – R 2 ) × 5
2
(R 2 + z 2 ) × 2z
(R 2 + z 2 ) 5
qp
4πe 0
d
dz
d 2 E p
dz 2
dEp
dz
z – z eq
2
d 2 E p
dz 2
R
12
dE p
dz
E
➞
0 = E 0 e
➞
x = – p p
grad V 0 ; V 0 ne dépend donc que de la coordonnée cartésienne x , avec
d’où :
V 0 = – E 0 x +cte ;
ou encore, en coordonnées sphériques :
V 0 = – E 0 r cos q +cte .
Le potentiel créé par le dipôle est
Par superposition, le potentiel en M est donc :
b) E
➞ = – p
p
gradV
d’où :
et
c) E q = 0 si sinq = 0 , soit q = 0 ou π , c’est-à-dire sur l’axe
(Ox) ou si
La seconde relation conduit à
;
il s’agit, dans le plan du schéma, de l’équation d’un cercle de
rayon R ; comme le système est invariant par rotation autour
de l’axe (Ox) , la surface S recherchée est la réunion d’une
sphère de centre O et de rayon R , et le plan passant par
O perpendiculaire à
➞
p .
En tout point de S , E q = 0 et donc E
➞ = E r e
➞
r : E
➞ est normal
à S .Comme les surfaces équipotentielles sont les surfaces
normales au champ, on peut en déduire que S est une surface équipotentielle.
Remarque :C e résultat se retrouve directement à partir de
l’expression de V(M) .
Lignes de champ dues à la superposition de E
➞
0
et du champ du dipôle.
P
x
E 0
R
p
E
=
4
0
1
3
π 0
e
p
r
E
4
3
0
π 0
ε
= .
E
p
r
E
=−
sin
.
θ
ε
θ
4
3
0
π 0
E
p
r
E
r =
+
cosq
e
2
4
3
0
π 0
=−
−=
+
∂
∂
∂
∂
V
r
e r
V eE eE e
r
r r
➞➞
➞➞
1
q
q
q q ;
VM
p
r
Er
()
cos
cos
=−+
q
e
q
4
2
0
π 0
cte.
V
pe
r
r
dipôle =
➞➞
.
4
2
π 0
ε
.
E
V
x
0 =−
d
d
0
;
CORRIGÉS
Dipôles électrique et magnétique
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