Le système est invariant par rotation autour de l’axe Oz : on
voit bien que les composantes dans le plan de la circonférence s’annulent deux à deux. La résultante des forces que le
dipôle exerce sur les charges de la circonférence est donc verticale dirigée vers les z 0
et vaut F z = dq E z = q E z
circonférence
avec E z = E r cos q + E q cos + q = E r cos q – E q sin q
et E r =
E q =
il vient
F z =
–
=
(2 cos 2 q – sin 2 q)
=
(3 cos 2 q – 1)
=
– 1
=
4 • Calculons le champ créé par la circonférence en un point
de l’axe :
E
➞ = – p grad
=
× –
=
Si le dipôle est situé en z et que son moment vaut qd la
charge – q est à la cote z –
et la charge + q est à
la cote z +
d
2
alors la charge – q subit la force
et la charge + q la force
La force totale qui s’applique sur le dipôle est alors égale à
➞
F= F z e
➞
z avec :
F z =
–
z –
d
2
[ R 2 + ( z –
d
2
)
2
]
3
2
z +
d
2
[ R 2 + ( z –
d
2
)
2
]
3
2
qq
4π e 0
+ qq ( z +
d
2
) e
➞
z
4π e 0 [ R 2 + ( z +
d
2
)
2
]
3
2
– qq ( z –
d
2
) e
➞
z
4π e 0 [ R 2 + ( z –
d
2
)
2
]
3
2
d
2
qz e
➞
z
4π e 0 (R 2 + z 2 )
3
2
2z e
➞
z
(R 2 + z 2 )
3
2
1
2
– q
4π e 0
q
4π e 0 (R 2 + z 2 )
1
2
(2z 2 – R 2 )
(R 2 + z 2 ) 5/2
qp
4π e 0
3z 2
R 2 + z 2
qp
4π e 0 (R 2 + z 2 )
3
2
qp
4π e 0 (R 2 + z 2 )
3
2
qp
4π e 0 (R 2 + z 2 )
3
2
qp sin 2 q
4π e 0 (R 2 + z 2 )
3
2
2qp cos 2 q
4π e 0 (R 2 + z 2 )
3
2
p sin q
4π e 0 PA 3
2 p cos q
4π e 0 PA 3
π
2
Faisons un développement limité à l’ordre 1 en d des deux
termes, avec d << z et d << R .
À l’ordre 1 en d , cela donne :
R 2 + z +
2
– 3
2 = (R 2 + z 2 + zd)
– 3
2
= (R 2 + z 2 )
– 3
2
1 +
– 3
2
= (R 2 + z 2 )
– 3
2
1 –
Et :
=
1 + 1 –
=
1 + 1 –
Ainsi :
F(z) =
1 –
=
avec qd = p .
On trouve une force égale mais opposée à celle que le dipôle
exerce sur la circonférence, ce qui traduit bien le principe de
l’action et de la réaction.
5 • L’énergie potentielle du dipôle soumis au champ de la circonférence est
E p = –
➞
p . E
➞ =
Le dipôle est donc soumis à la force
➞
F = – p
p
grad E p . Comme
Ep ne dépend que de z , on trouve immédiatement que la
force est selon e
➞
z .
F z =
=
=
( R 2 + z 2 )
– 3
2
– 1
=
On comprend bien l’intérêt, ici, de calculer la force à partir de
l’énergie potentielle.
(2z 2 – R 2 )
(R 2 + z 2 )
5
2
– qp
4π e 0
3z 2
(R 2 + z 2 )
– qp
4π e 0
3z 2 (R 2 + z 2 )
1
2 – (R 2 + z 2 )
3
2
(R 2 + z 2 ) 3
– qp
4π e 0
(R 2 + z 2 )
3
2 – z ×
3
2
(R 2 + z 2 )
1
2 × 2z
(R 2 + z 2 ) 3
qp
4π e 0
– qpz
4π e 0 (R 2 + z 2 )
3
2
(R 2 – 2z 2 )
(R 2 + z 2 )
5
2
qp
4π e 0
3z 2
R 2 + z 2
d
(R 2 + z 2 )
3
2
qq
4π e 0
3z 2
R 2 + z 2
d
2z
z
(R 2 + z 2 )
3
2
zd
R 2 + z 2
3
2
d
2z
z
(R 2 + z 2 )
3
2
z –
d
2
[ R 2 + ( z –
d
2
)
2
]
3
2
zd
R 2 + z 2
3
2
zd
R 2 + z 2
d
2
CORRIGÉS
Dipôles électrique et magnétique
3
477
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La photocopie non autorisée est un délit.
voit bien que les composantes dans le plan de la circonférence s’annulent deux à deux. La résultante des forces que le
dipôle exerce sur les charges de la circonférence est donc verticale dirigée vers les z 0
et vaut F z = dq E z = q E z
circonférence
avec E z = E r cos q + E q cos + q = E r cos q – E q sin q
et E r =
E q =
il vient
F z =
–
=
(2 cos 2 q – sin 2 q)
=
(3 cos 2 q – 1)
=
– 1
=
4 • Calculons le champ créé par la circonférence en un point
de l’axe :
E
➞ = – p grad
=
× –
=
Si le dipôle est situé en z et que son moment vaut qd la
charge – q est à la cote z –
et la charge + q est à
la cote z +
d
2
alors la charge – q subit la force
et la charge + q la force
La force totale qui s’applique sur le dipôle est alors égale à
➞
F= F z e
➞
z avec :
F z =
–
z –
d
2
[ R 2 + ( z –
d
2
)
2
]
3
2
z +
d
2
[ R 2 + ( z –
d
2
)
2
]
3
2
4π e 0
+ qq ( z +
d
2
) e
➞
z
4π e 0 [ R 2 + ( z +
d
2
)
2
]
3
2
– qq ( z –
d
2
) e
➞
z
4π e 0 [ R 2 + ( z –
d
2
)
2
]
3
2
d
2
qz e
➞
z
4π e 0 (R 2 + z 2 )
3
2
2z e
➞
z
(R 2 + z 2 )
3
2
1
2
– q
4π e 0
q
4π e 0 (R 2 + z 2 )
1
2
(2z 2 – R 2 )
(R 2 + z 2 ) 5/2
qp
4π e 0
3z 2
R 2 + z 2
qp
4π e 0 (R 2 + z 2 )
3
2
qp
4π e 0 (R 2 + z 2 )
3
2
qp
4π e 0 (R 2 + z 2 )
3
2
qp sin 2 q
4π e 0 (R 2 + z 2 )
3
2
2qp cos 2 q
4π e 0 (R 2 + z 2 )
3
2
p sin q
4π e 0 PA 3
2 p cos q
4π e 0 PA 3
π
2
Faisons un développement limité à l’ordre 1 en d des deux
termes, avec d << z et d << R .
À l’ordre 1 en d , cela donne :
R 2 + z +
2
– 3
2 = (R 2 + z 2 + zd)
– 3
2
= (R 2 + z 2 )
– 3
2
1 +
– 3
2
= (R 2 + z 2 )
– 3
2
1 –
Et :
=
1 + 1 –
=
1 + 1 –
Ainsi :
F(z) =
1 –
=
avec qd = p .
On trouve une force égale mais opposée à celle que le dipôle
exerce sur la circonférence, ce qui traduit bien le principe de
l’action et de la réaction.
5 • L’énergie potentielle du dipôle soumis au champ de la circonférence est
E p = –
➞
p . E
➞ =
Le dipôle est donc soumis à la force
➞
F = – p
p
grad E p . Comme
Ep ne dépend que de z , on trouve immédiatement que la
force est selon e
➞
z .
F z =
=
=
( R 2 + z 2 )
– 3
2
– 1
=
On comprend bien l’intérêt, ici, de calculer la force à partir de
l’énergie potentielle.
(2z 2 – R 2 )
(R 2 + z 2 )
5
2
– qp
4π e 0
3z 2
(R 2 + z 2 )
– qp
4π e 0
3z 2 (R 2 + z 2 )
1
2 – (R 2 + z 2 )
3
2
(R 2 + z 2 ) 3
– qp
4π e 0
(R 2 + z 2 )
3
2 – z ×
3
2
(R 2 + z 2 )
1
2 × 2z
(R 2 + z 2 ) 3
qp
4π e 0
– qpz
4π e 0 (R 2 + z 2 )
3
2
(R 2 – 2z 2 )
(R 2 + z 2 )
5
2
qp
4π e 0
3z 2
R 2 + z 2
d
(R 2 + z 2 )
3
2
4π e 0
3z 2
R 2 + z 2
d
2z
z
(R 2 + z 2 )
3
2
zd
R 2 + z 2
3
2
d
2z
z
(R 2 + z 2 )
3
2
z –
d
2
[ R 2 + ( z –
d
2
)
2
]
3
2
zd
R 2 + z 2
3
2
zd
R 2 + z 2
d
2
CORRIGÉS
Dipôles électrique et magnétique
3
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©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.