Le système de « charge » est situé entre les deux plans
z = –
et z =
; il est invariant par translation suivant
x et y donc
~
➞
E =
~
➞
E(z) .
Tous les plans parallèles à Z
Z
Oz et passant par M sont des
plans de symétrie des charges, donc :
~
➞
E =
~
E(z) e
➞
z
Le plan Oxy est un plan de symétrie des charges donc :
~
E(– z) = –
~
E(z) .
L’application du théorème de Gauss à la surface ➀ de hauteur
2z 1 donne :
~
E(z 1 )dS –
~
E(– z 1 )dS =
~
j
soit
~
E(z 1 ) =
, et donc :
z
:
~
➞
E(z) =
e
➞
z
z –
:
~
➞
E(z) = –
e
➞
z
pour la surface de Gauss ②, cela donne :
~
E(z 2 )dS –
~
E(– z 2 )dS =
~
j
soit
~
E(z 2 ) =
et donc
–
z +
:
~
➞
E(z) =
e
➞
z
On en déduit donc le potentiel V(M) (avec ~
j = 1)
Nous retrouvons bien les mêmes résultats.
~
jz
e 0
e
2
e
2
z 2
~
j
e 0
2z 2 dS
e 0
~
j e
e 0
e
2
~
j e
e 0
e
2
e ~
j
e 0
edS
e 0
e
2
e
2
~
z 1
– z 1
M
O
e
2
g = 1
x
z
y
e
2
2
–
1
Interaction circonférence
chargée – charge et dipôle
1 • Les charges de la circonférence sont toutes à la même distance du point M à savoir 9R 2 + z 2 : elles créent donc en M
un potentiel égal à
.
La charge – q en A crée un potentiel
en M .
En M le potentiel total vaut donc
–
.
2 • L’axe Oz est axe de symétrie de la distribution. Donc si
la distribution se comporte comme un dipôle, on cherche le
potentiel de ce dipôle en un point de son axe de symétrie,
d’où cos q = 1 dans l’expression générale du potentiel d’un
dipôle en coordonnées polaires.
Si z est très grand
~ 1 +
2
–
1
2
~ 1 –
et
= 1 –
– 1
~ 1 +
d’où V ~
1 –
– 1 – ~
au 1 er ordre.
3 •
Considérons le champ créé par le dipôle en deux points diamétralement opposés de la circonférence : le plan qui passe
par Oz perpendiculaire au diamètre PP est plan de symétrie : les champs E
➞ (P) et E
➞
(P) sont donc symétriques par
rapport à O z (on aurait pu aussi raisonner sur la symétrie des
lignes de champ du dipôle).
Les forces qui s’exercent sur les éléments de charge aux
points P et P sont donc également symétriques puisque la
charge est uniformément répartie et que d
➞
F = dq(P) E
➞ (P) .
O
A
dF z
dF z
y
E(P)
y
P
y
E(P¢)
y
e r
y
e q
q
q
P¢
P
qa
4π e 0 z 2
a
z
R 2
z 2
1
2
q
4π e 0 z
a
z
1
z
a
z
1
z
1
z – a
R 2
z 2
1
2
1
z
R
z
1
z
1
9 R 2 + z 2
1
z – a
1
9R 2 + z 2
q
4π e 0
– q
4π e 0 (z – a)
q
4π e 0 9 R 2 + z 2
7
CORRIGÉS
Dipôles électrique et magnétique
3
476
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
z
e
2
V(z) =
uniforme
Pe
2e 0
–
z
e
2
e
2
V(z) = Pz
ε 0
z –
e
2
V(z) = –
uniforme
Pe
2e 0
z = –
et z =
; il est invariant par translation suivant
x et y donc
~
➞
E =
~
➞
E(z) .
Tous les plans parallèles à Z
Z
Oz et passant par M sont des
plans de symétrie des charges, donc :
~
➞
E =
~
E(z) e
➞
z
Le plan Oxy est un plan de symétrie des charges donc :
~
E(– z) = –
~
E(z) .
L’application du théorème de Gauss à la surface ➀ de hauteur
2z 1 donne :
~
E(z 1 )dS –
~
E(– z 1 )dS =
~
j
soit
~
E(z 1 ) =
, et donc :
z
:
~
➞
E(z) =
e
➞
z
z –
:
~
➞
E(z) = –
e
➞
z
pour la surface de Gauss ②, cela donne :
~
E(z 2 )dS –
~
E(– z 2 )dS =
~
j
soit
~
E(z 2 ) =
et donc
–
z +
:
~
➞
E(z) =
e
➞
z
On en déduit donc le potentiel V(M) (avec ~
j = 1)
Nous retrouvons bien les mêmes résultats.
~
jz
e 0
e
2
e
2
z 2
~
j
e 0
2z 2 dS
e 0
~
j e
e 0
e
2
~
j e
e 0
e
2
e ~
j
e 0
edS
e 0
e
2
e
2
~
z 1
– z 1
M
O
e
2
g = 1
x
z
y
e
2
2
–
1
Interaction circonférence
chargée – charge et dipôle
1 • Les charges de la circonférence sont toutes à la même distance du point M à savoir 9R 2 + z 2 : elles créent donc en M
un potentiel égal à
.
La charge – q en A crée un potentiel
en M .
En M le potentiel total vaut donc
–
.
2 • L’axe Oz est axe de symétrie de la distribution. Donc si
la distribution se comporte comme un dipôle, on cherche le
potentiel de ce dipôle en un point de son axe de symétrie,
d’où cos q = 1 dans l’expression générale du potentiel d’un
dipôle en coordonnées polaires.
Si z est très grand
~ 1 +
2
–
1
2
~ 1 –
et
= 1 –
– 1
~ 1 +
d’où V ~
1 –
– 1 – ~
au 1 er ordre.
3 •
Considérons le champ créé par le dipôle en deux points diamétralement opposés de la circonférence : le plan qui passe
par Oz perpendiculaire au diamètre PP est plan de symétrie : les champs E
➞ (P) et E
➞
(P) sont donc symétriques par
rapport à O z (on aurait pu aussi raisonner sur la symétrie des
lignes de champ du dipôle).
Les forces qui s’exercent sur les éléments de charge aux
points P et P sont donc également symétriques puisque la
charge est uniformément répartie et que d
➞
F = dq(P) E
➞ (P) .
O
A
dF z
dF z
y
E(P)
y
P
y
E(P¢)
y
e r
y
e q
q
q
P¢
P
qa
4π e 0 z 2
a
z
R 2
z 2
1
2
q
4π e 0 z
a
z
1
z
a
z
1
z
1
z – a
R 2
z 2
1
2
1
z
R
z
1
z
1
9 R 2 + z 2
1
z – a
1
9R 2 + z 2
q
4π e 0
– q
4π e 0 (z – a)
q
4π e 0 9 R 2 + z 2
7
CORRIGÉS
Dipôles électrique et magnétique
3
476
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
z
e
2
V(z) =
uniforme
Pe
2e 0
–
z
e
2
e
2
V(z) = Pz
ε 0
z –
e
2
V(z) = –
uniforme
Pe
2e 0