Pour décrire l’ensemble de la zone contenant les dipôles, il
faut faire varier q entre 0 et 2π, a entre 0 et
et z entre
On obtient donc :
V(M) =
Si
le potentiel
est uniforme et le champ
électrique est nul.
Le potentiel reste défini à une constante additive près. On
remarque qu’il n’est pas ici possible de choisir V = 0 à l’infini ; cela est dû à la présence de dipôles à l’infini.
• Si
on peut reprendre le calcul précédent en changeant cosa en – cosa .
Le potentiel
est uniforme et le champ électrique est nul.
• Si
la tranche d’épaisseur
, située «audessus » de M , crée en M un potentiel :
La tranche d’épaisseur
, située «e n dessous » de M
crée en M un potentiel :
Le potentiel est donc :
V(M) = V 1 (M) + V 2 (M) =
Le champ électrique est
Potentiel V(z) : on a choisi V(0) = 0
z
V
ε 0
–
Pe
2
ε 0
Pe
2
–
e
2
e
2
E
V
h
e
P e
zz
➞
➞➞
=−
=−
d
d
ε 0
.
P h
ε 0
.
VM
Pe h
2
0
22
()
.
=+
e
e h
2
+
VM
Pe h
1
0
22
()
.
=−
−
ε
e h
2
−
−<<
e h
e
22
,
VM
Pe
() =− 2 0
e
h
e
<− 2
,
VM
Pe
() = 2 0
ε
h
e
> 2
,
P
z
Pe
sin
.
α
ε
αθ
ε
4
2 0
π 0
ddd=
q = 0
2π
a = 0
π/2
z = – e/2
e/2
−
ee
2
et 2
.
π
2
Champ électrique : E
➞ = E(z) e
➞
z
3 • On sait qu’un plan uniformément chargé avec une densité surfacique uniforme s créé un champ uniforme :
«au-dessus » et «en dessous ».
On peut donc obtenir le même champ en tout point à partir de
deux plans de charges surfaciques s 1 = P et s 2 = – P , de
cotes respectives
Ces deux plans forment un condensateur et créent bien un
champ total nul si
et un champ
4 • Le potentiel dV (M) créé en M par un dipôle élémentaire d
➞
p =
➞
P dt situé en A est donné par :
dV (M) =
➞
P étant uniforme, cela donne V(M) =
➞
P .
~
➞
E(M)
avec
~
➞
E(M) =
volume
où existe
➞
P
Ce champ a les caractéristiques, les propriétés d’un champ
électrostatique mais n’est pas homogène à un champ électrostatique : ce serait un champ « électrostatique » créé par une
densité volumique uniforme de « charge » : « ~
j = 1 » , j
étant sans dimension !
dt R
R
AM
AM 3
1
4π e 0
➞
Pdt . T
T
AM
4π e 0 AM 3
z
E 1
E 2
E 2
E 2
E 1
E 1
1
σ
2
σ
−<
P eh
e
z
ε 0
2
➞ si ||
.
||
,
h
e
> 2
+−
ee
22
et
.
Ee z
➞
➞
=±
σ
ε
2 0
z
E
ε 0
Pe
–
e
2
– e
2
CORRIGÉS
Dipôles électrique et magnétique
3
475
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
faut faire varier q entre 0 et 2π, a entre 0 et
et z entre
On obtient donc :
V(M) =
Si
le potentiel
est uniforme et le champ
électrique est nul.
Le potentiel reste défini à une constante additive près. On
remarque qu’il n’est pas ici possible de choisir V = 0 à l’infini ; cela est dû à la présence de dipôles à l’infini.
• Si
on peut reprendre le calcul précédent en changeant cosa en – cosa .
Le potentiel
est uniforme et le champ électrique est nul.
• Si
la tranche d’épaisseur
, située «audessus » de M , crée en M un potentiel :
La tranche d’épaisseur
, située «e n dessous » de M
crée en M un potentiel :
Le potentiel est donc :
V(M) = V 1 (M) + V 2 (M) =
Le champ électrique est
Potentiel V(z) : on a choisi V(0) = 0
z
V
ε 0
–
Pe
2
ε 0
Pe
2
–
e
2
e
2
E
V
h
e
P e
zz
➞
➞➞
=−
=−
d
d
ε 0
.
P h
ε 0
.
VM
Pe h
2
0
22
()
.
=+
e
e h
2
+
VM
Pe h
1
0
22
()
.
=−
−
ε
e h
2
−
−<<
e h
e
22
,
VM
Pe
() =− 2 0
e
h
e
<− 2
,
VM
Pe
() = 2 0
ε
h
e
> 2
,
P
z
Pe
sin
.
α
ε
αθ
ε
4
2 0
π 0
ddd=
q = 0
2π
a = 0
π/2
z = – e/2
e/2
−
ee
2
et 2
.
π
2
Champ électrique : E
➞ = E(z) e
➞
z
3 • On sait qu’un plan uniformément chargé avec une densité surfacique uniforme s créé un champ uniforme :
«au-dessus » et «en dessous ».
On peut donc obtenir le même champ en tout point à partir de
deux plans de charges surfaciques s 1 = P et s 2 = – P , de
cotes respectives
Ces deux plans forment un condensateur et créent bien un
champ total nul si
et un champ
4 • Le potentiel dV (M) créé en M par un dipôle élémentaire d
➞
p =
➞
P dt situé en A est donné par :
dV (M) =
➞
P étant uniforme, cela donne V(M) =
➞
P .
~
➞
E(M)
avec
~
➞
E(M) =
volume
où existe
➞
P
Ce champ a les caractéristiques, les propriétés d’un champ
électrostatique mais n’est pas homogène à un champ électrostatique : ce serait un champ « électrostatique » créé par une
densité volumique uniforme de « charge » : « ~
j = 1 » , j
étant sans dimension !
dt R
R
AM
AM 3
1
4π e 0
➞
Pdt . T
T
AM
4π e 0 AM 3
z
E 1
E 2
E 2
E 2
E 1
E 1
1
σ
2
σ
−<
P eh
e
z
ε 0
2
➞ si ||
.
||
,
h
e
> 2
+−
ee
22
et
.
Ee z
➞
➞
=±
σ
ε
2 0
z
E
ε 0
Pe
–
e
2
– e
2
CORRIGÉS
Dipôles électrique et magnétique
3
475
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La photocopie non autorisée est un délit.