ce qui donne pour q variant de 0 à π :
E z = –
π
0
sin q cos 2 q dq =
π
0
soit donc E
➞ (0) = –
e
➞
z .
2 • À l’intérieur de la sphère, E
➞ est la superposition des
champs créés par la sphère « – r » de centre O 1 , et la sphère « + r » de centre O 2 .
E
➞
2 (M) à l’intérieur de la sphère de centre O 2 est radial, de
la forme E 2 (r) e
➞
r , et s’obtient directement par le théorème
de Gauss avec une surface de Gauss sphérique de centre O 2 .
E 2 (r) 4πr 2 =
r πr 3 soit E 2 (r) = r
,
et donc : E
➞
2 (M) = r
; de même E
➞
1 (M) = – j
et E
➞ (M) = E
➞
1 (M) + E
➞
2 (M) =
( Z O 2 M – Z O 1 M) =
E O 1 O 2
soit E
➞ (M) = –
e
➞
z car s 0 = r . O 1 O 2
le champ est bien uniforme dans la sphère.
5 • À l’extérieur de la sphère E
➞ (M) = E
➞
1 (M) + E
➞
2 (M), le
champ à l’extérieur de la sphère chargée + r de centre O 2
est le même que celui créé par toute la charge q de la
sphère en O 2 , avec
π R 3 r .
On obtient donc le système de charges suivant vu de l’extérieur des sphères :
4
3
s 0
3e 0
– r
3e 0
j
3e 0
O
O
O 1 M
3e 0
O
O
O 2 M
3e 0
O 2 M
3e 0
4
3
1
e 0
O 2
R
r
M
r
+ r
y E 2 (M)
Surface de
Gauss
s 0
3e 0
cos 3 q
3
s 0
2e 0
2πR 2
R 2
s 0
4πe 0
Comme O 1 O 2 = a << R , nous sommes dans l’approximation dipolaire, avec un dipôle de moment
➞
p = q ae
➞
z =
π R 3 r ae
➞
z =
π R 3 s 0 e
➞
z ,
qui crée le potentiel : V(M) =
, soit :
V(r,q) =
R 3
=
r R
et donc :
E
➞ (M)=– p grad V = R 3
e
➞
r +
R 3
e
➞
q
ou
[2 cos q e
➞
r + sin e
➞
q ]
Dipôles répartis
entre deux plans parallèles
1 •
D’après l’expression du potentiel créé par
un dipôle :
2 • •On suppose
dt = r dr dq dz .
Or r = tan a (h – z) , d’où :
et
dz
dr
z
r
y
x
h M
a
q
q + dq
u P
dd dd
V
P
z
=
sin
.
α
ε
αθ
4 π 0
dd r
hz
=
−
cos
2 α
α
h
e
> 2
.
d
dd
V
p
AM
P
r
==
cos
cos sin .
a
e
ta
a
e
4
4
2
2
2
π
π
0
0
AM
r
= sin
.
α
6
s 0 R 3
e 0 r 3
sin q
r 3
s 0
e 0
cos q
r 3
2s 0
e 0
s 0 R 3 cos q
e 0 r 2
cos q
OM 2
s 0
e 0
➞
p.U U
OM
4π e 0 OM 3
4
3
4
3
– q
+ q
j
z
q
x
r
M
R
O 1
O 2
O
CORRIGÉS
Dipôles électrique et magnétique
3
474
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La photocopie non autorisée est un délit.
E z = –
π
0
sin q cos 2 q dq =
π
0
soit donc E
➞ (0) = –
e
➞
z .
2 • À l’intérieur de la sphère, E
➞ est la superposition des
champs créés par la sphère « – r » de centre O 1 , et la sphère « + r » de centre O 2 .
E
➞
2 (M) à l’intérieur de la sphère de centre O 2 est radial, de
la forme E 2 (r) e
➞
r , et s’obtient directement par le théorème
de Gauss avec une surface de Gauss sphérique de centre O 2 .
E 2 (r) 4πr 2 =
r πr 3 soit E 2 (r) = r
,
et donc : E
➞
2 (M) = r
; de même E
➞
1 (M) = – j
et E
➞ (M) = E
➞
1 (M) + E
➞
2 (M) =
( Z O 2 M – Z O 1 M) =
E O 1 O 2
soit E
➞ (M) = –
e
➞
z car s 0 = r . O 1 O 2
le champ est bien uniforme dans la sphère.
5 • À l’extérieur de la sphère E
➞ (M) = E
➞
1 (M) + E
➞
2 (M), le
champ à l’extérieur de la sphère chargée + r de centre O 2
est le même que celui créé par toute la charge q de la
sphère en O 2 , avec
π R 3 r .
On obtient donc le système de charges suivant vu de l’extérieur des sphères :
4
3
s 0
3e 0
– r
3e 0
j
3e 0
O
O
O 1 M
3e 0
O
O
O 2 M
3e 0
O 2 M
3e 0
4
3
1
e 0
O 2
R
r
M
r
+ r
y E 2 (M)
Surface de
Gauss
s 0
3e 0
cos 3 q
3
s 0
2e 0
2πR 2
R 2
s 0
4πe 0
Comme O 1 O 2 = a << R , nous sommes dans l’approximation dipolaire, avec un dipôle de moment
➞
p = q ae
➞
z =
π R 3 r ae
➞
z =
π R 3 s 0 e
➞
z ,
qui crée le potentiel : V(M) =
, soit :
V(r,q) =
R 3
=
r R
et donc :
E
➞ (M)=– p grad V = R 3
e
➞
r +
R 3
e
➞
q
ou
[2 cos q e
➞
r + sin e
➞
q ]
Dipôles répartis
entre deux plans parallèles
1 •
D’après l’expression du potentiel créé par
un dipôle :
2 • •On suppose
dt = r dr dq dz .
Or r = tan a (h – z) , d’où :
et
dz
dr
z
r
y
x
h M
a
q
q + dq
u P
dd dd
V
P
z
=
sin
.
α
ε
αθ
4 π 0
dd r
hz
=
−
cos
2 α
α
h
e
> 2
.
d
dd
V
p
AM
P
r
==
cos
cos sin .
a
e
ta
a
e
4
4
2
2
2
π
π
0
0
AM
r
= sin
.
α
6
s 0 R 3
e 0 r 3
sin q
r 3
s 0
e 0
cos q
r 3
2s 0
e 0
s 0 R 3 cos q
e 0 r 2
cos q
OM 2
s 0
e 0
➞
p.U U
OM
4π e 0 OM 3
4
3
4
3
– q
+ q
j
z
q
x
r
M
R
O 1
O 2
O
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