dE x = –
sin q.
Le champ dû à la distribution s’obtient donc selon
E x = 2
α
0
–
=
cos q
a
0
=
(1 – cos a)
d’où E
➞
(0) = –
e
➞
x ; E x est bien négatif.
2 •
Le plan (Oy,Oz) est un plan d’antisymétrie des charges, donc
E
➞
(M) = E(M) e
➞
x , M étant sur l’axe Oz .
La démarche est rigoureusement identique à celle du 1) mais
il faut d’abord projeter le champ dE
➞ sur un plan horizontal
(M, x, y) puis une seconde fois sur l’axe Ox .
|| dE
➞ || =
avec PM = 9 z 2
M
+ R 2
et dE x =
sin b sin q avec sin b =
donc dE x = –
. Lorsque le point P décrit le demiarc, PM reste constant.
Donc E x =
α
0
sin q dq =
(1 – cos a)
Soit E
➞
(M) =
(1 – cos a)
avec PM 2 = R 2 + z 2
M
.
3 • Quand α→0 les deux demi-arcs se comportent comme
deux charges ponctuelles + λRα et – λRα distantes de Rα.
En un point tel que z M >> R ces deux charges apparaissent
– 2 λR 2
4πe 0 PM 3
– 2 λR 2
4πe 0 PM 3
– 2 λR 2
4πe 0 PM 3
λR 2 sinqdq
4πe 0 PM 3
R
PM
λRdq
4πe 0 PM 2
λRdq
4πe 0 PM 2
d q d q
q
q
dy E(M)
p
rd E si n b
M
b
z
x
y
O
P¢
P
R
(– l)
(+ l)
dEx = dE sin b.sin q
dE sin b
λ(1 – cos α)
2πe 0 R
– λ
2πe 0 R
λ
2πe 0 R
λRdqsinq
4πe 0 R 2
λRdq
4πe 0 R 2
comme un dipôle de moment p
➞ = (λRα) Rα e
➞
x =λ ( R α ) 2 e
➞
x .
Montrons que le champ trouvé en 2) tend bien vers le champ
d’un tel dipôle.
E
➞ =
e
➞
x =
e
➞
x
=
e
➞
x =
ce qui est bien correct.
(PM ≈ z M si z M >> R)
Il en est de même pour le champ E(0). Pour se placer dans
l’approximation dipolaire, il faut que a << 1 , soit Ra << R .
On a toujours p
➞ = l (Ra) 2 e
➞
x
E
➞
(0) = –
e
➞
x =
=
ce qui est encore correct.
Passage d’une densité volumique
à une densité surfacique
1 •
Tous les plans contenant Oz sont des plans de symétrie des
charges donc E
➞ (0) = E z e
➞
z .
La contribution dE z due aux charges situées entre q et
q + dq est :
dE z = –
cos q
avec dΣ = 2π R 2 sin q dq
sdΣ
R 2
1
4π e 0
dq
Rdq
dE z
z
x
y
O
q
q
dy E
5
p
➞
4πe 0 R 3
– l (Ra) 2 e
e
e x
4πe 0 R 3
a 2
2
2l
4πe 0 R
– p
➞
4πe 0 z 3
M
– p
4πe 0 z 3
M
(d au 2 e ordre
de cos x)
2 λR 2
a
2
2
4πe 0 PM 3
– λR 2 (1 –cos a)
2πe 0 PM 3
y
E
y
P
M
P
z
y
CORRIGÉS
Dipôles électrique et magnétique
3
473
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
sin q.
Le champ dû à la distribution s’obtient donc selon
E x = 2
α
0
–
=
cos q
a
0
=
(1 – cos a)
d’où E
➞
(0) = –
e
➞
x ; E x est bien négatif.
2 •
Le plan (Oy,Oz) est un plan d’antisymétrie des charges, donc
E
➞
(M) = E(M) e
➞
x , M étant sur l’axe Oz .
La démarche est rigoureusement identique à celle du 1) mais
il faut d’abord projeter le champ dE
➞ sur un plan horizontal
(M, x, y) puis une seconde fois sur l’axe Ox .
|| dE
➞ || =
avec PM = 9 z 2
M
+ R 2
et dE x =
sin b sin q avec sin b =
donc dE x = –
. Lorsque le point P décrit le demiarc, PM reste constant.
Donc E x =
α
0
sin q dq =
(1 – cos a)
Soit E
➞
(M) =
(1 – cos a)
avec PM 2 = R 2 + z 2
M
.
3 • Quand α→0 les deux demi-arcs se comportent comme
deux charges ponctuelles + λRα et – λRα distantes de Rα.
En un point tel que z M >> R ces deux charges apparaissent
– 2 λR 2
4πe 0 PM 3
– 2 λR 2
4πe 0 PM 3
– 2 λR 2
4πe 0 PM 3
λR 2 sinqdq
4πe 0 PM 3
R
PM
λRdq
4πe 0 PM 2
λRdq
4πe 0 PM 2
d q d q
q
q
dy E(M)
p
rd E si n b
M
b
z
x
y
O
P¢
P
R
(– l)
(+ l)
dEx = dE sin b.sin q
dE sin b
λ(1 – cos α)
2πe 0 R
– λ
2πe 0 R
λ
2πe 0 R
λRdqsinq
4πe 0 R 2
λRdq
4πe 0 R 2
comme un dipôle de moment p
➞ = (λRα) Rα e
➞
x =λ ( R α ) 2 e
➞
x .
Montrons que le champ trouvé en 2) tend bien vers le champ
d’un tel dipôle.
E
➞ =
e
➞
x =
e
➞
x
=
e
➞
x =
ce qui est bien correct.
(PM ≈ z M si z M >> R)
Il en est de même pour le champ E(0). Pour se placer dans
l’approximation dipolaire, il faut que a << 1 , soit Ra << R .
On a toujours p
➞ = l (Ra) 2 e
➞
x
E
➞
(0) = –
e
➞
x =
=
ce qui est encore correct.
Passage d’une densité volumique
à une densité surfacique
1 •
Tous les plans contenant Oz sont des plans de symétrie des
charges donc E
➞ (0) = E z e
➞
z .
La contribution dE z due aux charges situées entre q et
q + dq est :
dE z = –
cos q
avec dΣ = 2π R 2 sin q dq
sdΣ
R 2
1
4π e 0
dq
Rdq
dE z
z
x
y
O
q
q
dy E
5
p
➞
4πe 0 R 3
– l (Ra) 2 e
e
e x
4πe 0 R 3
a 2
2
2l
4πe 0 R
– p
➞
4πe 0 z 3
M
– p
4πe 0 z 3
M
(d au 2 e ordre
de cos x)
2 λR 2
a
2
2
4πe 0 PM 3
– λR 2 (1 –cos a)
2πe 0 PM 3
y
E
y
P
M
P
z
y
CORRIGÉS
Dipôles électrique et magnétique
3
473
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.