Validité de l’approximation
dipolaire électrique
1 • En un point de l’axe (Ox):
x=r , q = 0 , e
➞
r = e
➞
x (e
➞
q = e
➞
y ).
L’expression générale du champ d’un dipôle s’écrit donc :
2 • Il suffit d’additionner les champs électriques des deux
charges :
On en tire E
➞
(x) = E
➞
0 (x) f (x) , avec
3 • f (x) est supérieur à 1 (dénominateur < 1).
f (x) ≈ 1 à 1%près si f (x)<1+0,01 .
Avec un développement limité à l’ordre 1 en
, cette
condition devient :
Elle est donc réalisée si | x | > 7,1 a .
4 • En un point de l’axe (Oy):
r=y, q =
, e
➞
q = – e
➞
x (et e
➞
r = e
➞
y ).
Le champ a donc pour expression :
Le plan x = 0 étant plan d’antisymétrie, le champ E
➞ en tout point
de l’axe (Oy) est orienté parallèlement à e
➞
x .
Il suffit donc de sommer les deux
composantes selon e
➞
x des champs
créés par les deux charges. Ces deux
composantes sont égales :
E x = – 2
sin a , avec a =
d’où
a
2
r
q
4πe 0 r 2
E
qa
y
e x
0
3
4
➞
➞
=− π 0
e
.
π
2
1 2
10 01
21 0
2
2
2
+< +
<
−
a
x
a
x
,
||
.
, soit
.
a 2
4x 2
fx
a
x
()
.
=
−
1
1 4
2
2
2
e
➞
x
qa x
x
a
=
−
4
2
4
2
2 2
π 0
ε
E
q
x
a
x
a
e x
➞
➞
=
−
−
+
4
1
2
1
2
2
2
π 0
ε
E
qa
x
e x
0
3
2
4
➞
➞
= π 0
ε
.
3
E
➞ =
est inférieur à 1;
g(y) ≈ 1 à 1%près si g(y) > 1 – 0,01 .
Avec un développement limité, cette condition devient :
Pour conclure, et en extrapolant à toutes les directions,
l’approximation dipolaire est justifiée à mieux que 1%
près, pour des distances supérieures à moins de dix fois la
distance entre les charges.
Arcs de cercle portant
des densités de charges égales
et opposées
1 • Le plan Oyz est plan d’antisymétrie de la distribution,
donc E
➞
(0) est selon e
➞
x seulement.
Deux points P et P , symétriques par rapport à Oy contribuent donc également au champ résultant. Il suffira de calculer
le champ dû au demi-arc positif seulement et de le multiplier
par 2.
Le champ dE
➞ créé par l’élément de charge dq = λRdq centré
sur P ap our norme || dE
➞ || =
.
λRdq
4πe 0 R 2
charge l Rdq
dE x
T dE
q
q
a
– l
+ l
y
x
O
P¢
P
d q
4
61
>
ya
,| |,.
soit
0,01
1
3
8
1
2
2
−> −
a
y
gy
a
y
() =
+
1
1 4
2
2
3
2
gyEy
➞
=
0
() () .
q
a
r
e
qa
y
a
y
e
x
x
➞
➞
−= −
+
2
2
44
1
1 4
3
3
2
2
3
2
ππ 0
0
εε
CORRIGÉS
Dipôles électrique et magnétique
3
472
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
x
y
q
–q
O
r
r
E
a
dipolaire électrique
1 • En un point de l’axe (Ox):
x=r , q = 0 , e
➞
r = e
➞
x (e
➞
q = e
➞
y ).
L’expression générale du champ d’un dipôle s’écrit donc :
2 • Il suffit d’additionner les champs électriques des deux
charges :
On en tire E
➞
(x) = E
➞
0 (x) f (x) , avec
3 • f (x) est supérieur à 1 (dénominateur < 1).
f (x) ≈ 1 à 1%près si f (x)<1+0,01 .
Avec un développement limité à l’ordre 1 en
, cette
condition devient :
Elle est donc réalisée si | x | > 7,1 a .
4 • En un point de l’axe (Oy):
r=y, q =
, e
➞
q = – e
➞
x (et e
➞
r = e
➞
y ).
Le champ a donc pour expression :
Le plan x = 0 étant plan d’antisymétrie, le champ E
➞ en tout point
de l’axe (Oy) est orienté parallèlement à e
➞
x .
Il suffit donc de sommer les deux
composantes selon e
➞
x des champs
créés par les deux charges. Ces deux
composantes sont égales :
E x = – 2
sin a , avec a =
d’où
a
2
r
q
4πe 0 r 2
E
qa
y
e x
0
3
4
➞
➞
=− π 0
e
.
π
2
1 2
10 01
21 0
2
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+< +
<
−
a
x
a
x
,
||
.
, soit
.
a 2
4x 2
fx
a
x
()
.
=
−
1
1 4
2
2
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e
➞
x
qa x
x
a
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−
4
2
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2
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π 0
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E
q
x
a
x
a
e x
➞
➞
=
−
−
+
4
1
2
1
2
2
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π 0
ε
E
qa
x
e x
0
3
2
4
➞
➞
= π 0
ε
.
3
E
➞ =
est inférieur à 1;
g(y) ≈ 1 à 1%près si g(y) > 1 – 0,01 .
Avec un développement limité, cette condition devient :
Pour conclure, et en extrapolant à toutes les directions,
l’approximation dipolaire est justifiée à mieux que 1%
près, pour des distances supérieures à moins de dix fois la
distance entre les charges.
Arcs de cercle portant
des densités de charges égales
et opposées
1 • Le plan Oyz est plan d’antisymétrie de la distribution,
donc E
➞
(0) est selon e
➞
x seulement.
Deux points P et P , symétriques par rapport à Oy contribuent donc également au champ résultant. Il suffira de calculer
le champ dû au demi-arc positif seulement et de le multiplier
par 2.
Le champ dE
➞ créé par l’élément de charge dq = λRdq centré
sur P ap our norme || dE
➞ || =
.
λRdq
4πe 0 R 2
charge l Rdq
dE x
T dE
q
q
a
– l
+ l
y
x
O
P¢
P
d q
4
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>
ya
,| |,.
soit
0,01
1
3
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2
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y
gy
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() =
+
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1 4
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a
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y
a
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x
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2
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44
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1 4
3
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2
2
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ππ 0
0
εε
CORRIGÉS
Dipôles électrique et magnétique
3
472
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
x
y
q
–q
O
r
r
E
a