©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
EXERCICES
Dipôles électrique et magnétique
3
469
Champ magnétique créé
par un solénoïde dans
l’approximation dipolaire
Un solénoïde est constitué de N spires parcourues par un
courant I , régulièrement bobinées sur un cylindre de section S (non nécessairement circulaire), de longueur et
dont les génératrices sont parallèles à l’axe (Oz) .
1 • Déterminer le moment magnétique d
— ➞ associé à une
tranche de solénoïde de longueur élémentaire dz .
2 • Calculer le champ B
➞ en un point M 1 situé sur l’axe
(Oz) , à une distance h de l’extrémité du solénoïde, avec
l’approximation h >> a . Dans le cas d’un solénoïde à section circulaire, comparer avec l’expression obtenue sans
cette approximation.
3 • Calculer le champ B
➞ en un point M 2 situé sur le plan
de symétrie, à une distance r de l’axe, avec l’approximation r >> a .
Étudier le cas limite du solénoïde infiniment long.
z
r
a
h
M 1
M 2
2
2
12
Champ magnétique en un point
du plan d’une spire
Une spire circulaire de centre O, de rayon a et d’axe (Oz)
est parcourue par un courant d’intensité I. Un point courant
P de la spire est repéré par l’angle que fait le vecteur T
OP
avec l’axe (Ox) de référence. Exprimer sous forme d’une
intégrale le champ magnétique créé en un point M de l’axe
(Ox) très éloigné de la spire 1 .
Effectuer un développement limité en u =
de l’intégrale et obtenir la partie principale du champ y
B(M).
Vérifier que ce champ est bien celui créé par un dipôle
magnétique au même point.
Champ magnétique créé par
une sphère chargée en rotation
(oral)
On considère une sphère isolante, de rayon R et de
centre O , creuse, portant une charge Q uniformément
répartie sur sa surface. Elle tourne autour d’un axe Oz
avec une vitesse angulaire w constante qui ne perturbe
pas la répartition des charges.
1 • Déterminer le moment magnétique ainsi créé.
2 • Montrer que le champ magnétique créé n’a pas de
composante selon e j
➞ .
3 • Déterminer et représenter le champ créé loin de la
sphère
a) en un point quelconque ;
b) en un point de l’axe Oz .
11
a
x
x
a
x
y
z
M
C
O
P
I
10
Conseils
1) On a déjà vu à l’ex. 7 du chapitre précédent comment exprimer les courants surfaciques générés par
le mouvement de la sphère : on décompose la sphère en spires de courant de largeur Rdq , de rayon R
sin q . On somme alors les moments magnétiques de
toutes les spires en intégrant sur q .
2) Il faut utiliser le Principe de Curie, c’est-à-dire
étudier les symétries, dès que ce genre de question
est posée.
3) Loin de la sphère, celle-ci se comporte comme le
dipôle dont on vient de calculer le moment. Il est alors
très simple, dans un plan f = cte, de calculer l’expression du champ B
➞ à partir des formules du dipôle.
Pour représenter correctement le champ en un point,
il faut tracer approximativement la ligne de champ
du dipôle en ce point et correctement l’orienter.
On pourra également tenter un calcul direct à partir des boucles de courant…
Conseils
1) Combien de spires y a-t-il entre z et z + dz ?
2) il s’agit ici bien évidemment d’exploiter le champ
magnétique créé par le dipôle d
➞ . Comme il va falloir sommer les champs de tous les dipôles, on ne peut
prendre l’origine au niveau du dipôle, on la prend donc
au niveau du point M, fixe. Dans la formule, en coordonnées cylindriques r est la distance au dipôle, donc
nécessairement positive. Selon la position de M sur
l’axe par rapport au solénoïde q = 0 ou π .
3) Quelles sont les éléments de symétrie de la distribution au point M 2 ? En déduire les composantes à
sommer. Où choisir l’origine cette fois pour mener le
calcul le plus simplement ?
La photocopie non autorisée est un délit.
EXERCICES
Dipôles électrique et magnétique
3
469
Champ magnétique créé
par un solénoïde dans
l’approximation dipolaire
Un solénoïde est constitué de N spires parcourues par un
courant I , régulièrement bobinées sur un cylindre de section S (non nécessairement circulaire), de longueur et
dont les génératrices sont parallèles à l’axe (Oz) .
1 • Déterminer le moment magnétique d
— ➞ associé à une
tranche de solénoïde de longueur élémentaire dz .
2 • Calculer le champ B
➞ en un point M 1 situé sur l’axe
(Oz) , à une distance h de l’extrémité du solénoïde, avec
l’approximation h >> a . Dans le cas d’un solénoïde à section circulaire, comparer avec l’expression obtenue sans
cette approximation.
3 • Calculer le champ B
➞ en un point M 2 situé sur le plan
de symétrie, à une distance r de l’axe, avec l’approximation r >> a .
Étudier le cas limite du solénoïde infiniment long.
z
r
a
h
M 1
M 2
2
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12
Champ magnétique en un point
du plan d’une spire
Une spire circulaire de centre O, de rayon a et d’axe (Oz)
est parcourue par un courant d’intensité I. Un point courant
P de la spire est repéré par l’angle que fait le vecteur T
OP
avec l’axe (Ox) de référence. Exprimer sous forme d’une
intégrale le champ magnétique créé en un point M de l’axe
(Ox) très éloigné de la spire 1 .
Effectuer un développement limité en u =
de l’intégrale et obtenir la partie principale du champ y
B(M).
Vérifier que ce champ est bien celui créé par un dipôle
magnétique au même point.
Champ magnétique créé par
une sphère chargée en rotation
(oral)
On considère une sphère isolante, de rayon R et de
centre O , creuse, portant une charge Q uniformément
répartie sur sa surface. Elle tourne autour d’un axe Oz
avec une vitesse angulaire w constante qui ne perturbe
pas la répartition des charges.
1 • Déterminer le moment magnétique ainsi créé.
2 • Montrer que le champ magnétique créé n’a pas de
composante selon e j
➞ .
3 • Déterminer et représenter le champ créé loin de la
sphère
a) en un point quelconque ;
b) en un point de l’axe Oz .
11
a
x
x
a
x
y
z
M
C
O
P
I
10
Conseils
1) On a déjà vu à l’ex. 7 du chapitre précédent comment exprimer les courants surfaciques générés par
le mouvement de la sphère : on décompose la sphère en spires de courant de largeur Rdq , de rayon R
sin q . On somme alors les moments magnétiques de
toutes les spires en intégrant sur q .
2) Il faut utiliser le Principe de Curie, c’est-à-dire
étudier les symétries, dès que ce genre de question
est posée.
3) Loin de la sphère, celle-ci se comporte comme le
dipôle dont on vient de calculer le moment. Il est alors
très simple, dans un plan f = cte, de calculer l’expression du champ B
➞ à partir des formules du dipôle.
Pour représenter correctement le champ en un point,
il faut tracer approximativement la ligne de champ
du dipôle en ce point et correctement l’orienter.
On pourra également tenter un calcul direct à partir des boucles de courant…
Conseils
1) Combien de spires y a-t-il entre z et z + dz ?
2) il s’agit ici bien évidemment d’exploiter le champ
magnétique créé par le dipôle d
➞ . Comme il va falloir sommer les champs de tous les dipôles, on ne peut
prendre l’origine au niveau du dipôle, on la prend donc
au niveau du point M, fixe. Dans la formule, en coordonnées cylindriques r est la distance au dipôle, donc
nécessairement positive. Selon la position de M sur
l’axe par rapport au solénoïde q = 0 ou π .
3) Quelles sont les éléments de symétrie de la distribution au point M 2 ? En déduire les composantes à
sommer. Où choisir l’origine cette fois pour mener le
calcul le plus simplement ?