©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
EXERCICES
Dipôles électrique et magnétique
3
467
suffisamment éloigné. Donner alors son moment dipolaire en fonction de q, R et a .
On place maintenant en A un dipôle rigide de moment
p
➞ = p e z
➞ , astreint à se déplacer sans frottement selon
l’axe Oz .
3 • Calculer la force que le dipôle exerce sur la circonférence.
4 • Calculer la force que la circonférence exerce sur le
dipôle en considérant qu’il est constitué de deux
charges – q et + q , situées respectivement en
et
. Conclure.
5 • Retrouver ce résultat en passant par l’énergie potentielle d’interaction de la circonférence et du dipôle.
6 • Déterminer les positions d’équilibre du dipôle.
7 • Déterminer la pulsation des petites oscillations
autour de la position stable.
Un modèle de l’action
d’un champ électrique uniforme
sur une molécule
1 • Une molécule polaire peut être représentée électriquement par un dipôle électrostatique rigide constitué de deux
8
z + d
2
z – d
2
en un point M situé sur l’axe (Oz) , à la cote h . On
pourra utiliser l’angle a (cf. schéma ci-dessus).
2 • En déduire le potentiel et le champ électrique en M .
On étudiera tous les cas :
< –
, –
<
et >
.
3 • Montrer que cette distribution de dipôles est équivalente à une distribution de charges que l’on précisera.
4 • Sachant que V(M) est donné par :
montrer que : V(M) = P
➞
. E
➞
(M) où E
➞
(M) est analogue
à un champ de « nature électrostatique » créé par une
densité volumique de « charge » que l’on définira.
Calculer E
➞
(M) dans tout l’espace. En déduire V(M) .
Interaction circonférence
chargée – charge et dipôle
Une circonférence de centre O , de rayon R , d’axe Oz
porte une charge + q uniformément répartie. Une charge
– q se trouve sur l’axe de la circonférence en A , tel que
OA = a .
1 • Calculer le potentiel créé par l’ensemble en un point
M de l’axe.
2 • Montrer que cette distribution, charge plus circonférence, se comporte comme un dipôle quand M est
– q
R
A
M
O
l
a
l
7
e
2
e
2
e
2
e
2
Conseils
Il faut ici raisonner sur les dipôles élémentaires,
comme on l’a fait par ailleurs pour les charges élémentaires : chaque dipôle élémentaire dp
➞ ,associé à
un élément de volume dt , crée en M un potentiel
dV .
Pour un point M situé entre les deux plans, il faut
considérer qu’une fraction du système se trouve audessus de M , et l’autre partie en dessous.
Quelle est la distribution de charges qui crée un
champ uniforme dans tout l’espace z > 0 ?
Conseils
1) Appliquer le théorème de superposition.
2) Pour z très grand (z >> a) on peut simplifier
l’expression du potentiel et chercher à le mettre sous
la forme du potentiel d’un dipôle. Il ne reste plus
alors qu’à identifier au numérateur l’expression du
moment dipolaire puisque V =
en un point
de l’axe d’un dipôle.
3) Commencer par chercher la direction de la résultante des forces en considérant par exemple les forces
qui s’exercent sur deux éléments de circonférence
diamétralement opposés. Ensuite projeter le champ
du dipôle sur cette direction.
4) Sommer les forces exercées par les charges de la
circonférence sur les deux charges qui constituent le
doublet, puis d étant très inférieur à z (approximation
dipolaire) simplifier l’expression obtenue à l’aide des
développements limités.
5) Le dipôle subit l’action du champ créé par la circonférence. La force qui s’exerce sur lui se calcule
facilement à partir de l’énergie potentielle – p
➞ . E
➞ .
Les deux dernières questions se traitent à partir de
l’énergie potentielle.
p
4π e 0 z 2
P
➞
. AM
➞ dt
4πε 0 AM 3
volume où
existe P
➞
V(M) =
La photocopie non autorisée est un délit.
EXERCICES
Dipôles électrique et magnétique
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suffisamment éloigné. Donner alors son moment dipolaire en fonction de q, R et a .
On place maintenant en A un dipôle rigide de moment
p
➞ = p e z
➞ , astreint à se déplacer sans frottement selon
l’axe Oz .
3 • Calculer la force que le dipôle exerce sur la circonférence.
4 • Calculer la force que la circonférence exerce sur le
dipôle en considérant qu’il est constitué de deux
charges – q et + q , situées respectivement en
et
. Conclure.
5 • Retrouver ce résultat en passant par l’énergie potentielle d’interaction de la circonférence et du dipôle.
6 • Déterminer les positions d’équilibre du dipôle.
7 • Déterminer la pulsation des petites oscillations
autour de la position stable.
Un modèle de l’action
d’un champ électrique uniforme
sur une molécule
1 • Une molécule polaire peut être représentée électriquement par un dipôle électrostatique rigide constitué de deux
8
z + d
2
z – d
2
en un point M situé sur l’axe (Oz) , à la cote h . On
pourra utiliser l’angle a (cf. schéma ci-dessus).
2 • En déduire le potentiel et le champ électrique en M .
On étudiera tous les cas :
< –
, –
<
et >
.
3 • Montrer que cette distribution de dipôles est équivalente à une distribution de charges que l’on précisera.
4 • Sachant que V(M) est donné par :
montrer que : V(M) = P
➞
. E
➞
(M) où E
➞
(M) est analogue
à un champ de « nature électrostatique » créé par une
densité volumique de « charge » que l’on définira.
Calculer E
➞
(M) dans tout l’espace. En déduire V(M) .
Interaction circonférence
chargée – charge et dipôle
Une circonférence de centre O , de rayon R , d’axe Oz
porte une charge + q uniformément répartie. Une charge
– q se trouve sur l’axe de la circonférence en A , tel que
OA = a .
1 • Calculer le potentiel créé par l’ensemble en un point
M de l’axe.
2 • Montrer que cette distribution, charge plus circonférence, se comporte comme un dipôle quand M est
– q
R
A
M
O
l
a
l
7
e
2
e
2
e
2
e
2
Conseils
Il faut ici raisonner sur les dipôles élémentaires,
comme on l’a fait par ailleurs pour les charges élémentaires : chaque dipôle élémentaire dp
➞ ,associé à
un élément de volume dt , crée en M un potentiel
dV .
Pour un point M situé entre les deux plans, il faut
considérer qu’une fraction du système se trouve audessus de M , et l’autre partie en dessous.
Quelle est la distribution de charges qui crée un
champ uniforme dans tout l’espace z > 0 ?
Conseils
1) Appliquer le théorème de superposition.
2) Pour z très grand (z >> a) on peut simplifier
l’expression du potentiel et chercher à le mettre sous
la forme du potentiel d’un dipôle. Il ne reste plus
alors qu’à identifier au numérateur l’expression du
moment dipolaire puisque V =
en un point
de l’axe d’un dipôle.
3) Commencer par chercher la direction de la résultante des forces en considérant par exemple les forces
qui s’exercent sur deux éléments de circonférence
diamétralement opposés. Ensuite projeter le champ
du dipôle sur cette direction.
4) Sommer les forces exercées par les charges de la
circonférence sur les deux charges qui constituent le
doublet, puis d étant très inférieur à z (approximation
dipolaire) simplifier l’expression obtenue à l’aide des
développements limités.
5) Le dipôle subit l’action du champ créé par la circonférence. La force qui s’exerce sur lui se calcule
facilement à partir de l’énergie potentielle – p
➞ . E
➞ .
Les deux dernières questions se traitent à partir de
l’énergie potentielle.
p
4π e 0 z 2
P
➞
. AM
➞ dt
4πε 0 AM 3
volume où
existe P
➞
V(M) =