©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
1 • Calculer le champ électrique en O , centre du cercle
de rayon R .
2 • Calculer le champ en un point M de l’axe Oz , tel que
z M >> R .
3 • Que retrouve-t-on lorsque a tend vers zéro ?
Passage d’une densité volumique
à une densité surfacique
Reprenons l’exercice 2 du chapitre 1.
On considère deux sphères identiques, de rayons R , de
centres respectifs O 1 et O 2 distants de a , et chargées
respectivement avec des densités volumiques uniformes
mais opposées – r et + r , modélisables par une sphère
de centre O , de rayon R , chargée avec une densité surfacique de charges s = s 0 cos q (s 0 = ra) .
+ r
– r
O 1 O 2 = a
a
z
x
y
R
R
O 1 O 2
O
5
a
– ll
z
O
R
x
y
EXERCICES
Dipôles électrique et magnétique
3
466
1 • Calculer le champ créé en O par cette distribution.
2 • Montrer qu’en réalité le champ est uniforme à l’intérieur de la sphère.
3 • Comment se comporte cette distribution pour r R ?
En déduire l’expression du potentiel en un point M
extérieur en fonction de r = OM , s 0 et R . En déduire
le champ électrique pour r R .
Dipôles répartis
entre deux plans parallèles
L’espace compris entre deux plans de cotes
est rempli de dipôles microscopiques régulièrement répartis. Un volume mésoscopique élémentaire dt possède un
moment dipolaire d p
➞ = P
➞
dt .L e vecteur P
➞ ,d ensité
volumique de moment dipolaire encore appelé vecteur
polarisation, est ici uniforme :
P
➞ = Pe
➞
z .
1 • Un point A situé entre les plans de cotes
est repéré par ses coordonnées cylindriques (r , q , z).
Exprimer le potentiel dV créé par les dipôles situés
dans l’élément de volume dt situé au voisinage de A ,
−
ee
22
et
x
z
M(h)
O
A
r
dp
α
−
ee
22
et
6
x
O
R
P
q
Conseils
1) Étudier d’abord les symétries pour ne sommer que
les seules composantes qui contribuent effectivement
au champ total.
2) Il faut projeter deux fois le champ élémentaire
pour obtenir la composante « utile »:une première
fois pour se ramener à la composante «horizontale »,
une deuxième pour se ramener, comme en 1) à la projection sur Ox . Quand z >> R la 1 re projection
s’exprime facilement à l’aide de
.
3) Quand a tend vers zéro on doit retrouver l’expression du champ d’un dipôle, les barycentres des charges positives et négatives se situant en (– αR, – R)
et (+ αR, – R) .
R
z
Conseils
1) Toutes les charges comprises entre q et q + dq
contribuent également au champ résultant.
2) Appliquer le théorème de superposition et le théorème de Gauss.
3) À l’extérieur de la distribution comment se comportent les deux sphères uniformément chargées ?
La photocopie non autorisée est un délit.
1 • Calculer le champ électrique en O , centre du cercle
de rayon R .
2 • Calculer le champ en un point M de l’axe Oz , tel que
z M >> R .
3 • Que retrouve-t-on lorsque a tend vers zéro ?
Passage d’une densité volumique
à une densité surfacique
Reprenons l’exercice 2 du chapitre 1.
On considère deux sphères identiques, de rayons R , de
centres respectifs O 1 et O 2 distants de a , et chargées
respectivement avec des densités volumiques uniformes
mais opposées – r et + r , modélisables par une sphère
de centre O , de rayon R , chargée avec une densité surfacique de charges s = s 0 cos q (s 0 = ra) .
+ r
– r
O 1 O 2 = a
a
z
x
y
R
R
O 1 O 2
O
5
a
– ll
z
O
R
x
y
EXERCICES
Dipôles électrique et magnétique
3
466
1 • Calculer le champ créé en O par cette distribution.
2 • Montrer qu’en réalité le champ est uniforme à l’intérieur de la sphère.
3 • Comment se comporte cette distribution pour r R ?
En déduire l’expression du potentiel en un point M
extérieur en fonction de r = OM , s 0 et R . En déduire
le champ électrique pour r R .
Dipôles répartis
entre deux plans parallèles
L’espace compris entre deux plans de cotes
est rempli de dipôles microscopiques régulièrement répartis. Un volume mésoscopique élémentaire dt possède un
moment dipolaire d p
➞ = P
➞
dt .L e vecteur P
➞ ,d ensité
volumique de moment dipolaire encore appelé vecteur
polarisation, est ici uniforme :
P
➞ = Pe
➞
z .
1 • Un point A situé entre les plans de cotes
est repéré par ses coordonnées cylindriques (r , q , z).
Exprimer le potentiel dV créé par les dipôles situés
dans l’élément de volume dt situé au voisinage de A ,
−
ee
22
et
x
z
M(h)
O
A
r
dp
α
−
ee
22
et
6
x
O
R
P
q
Conseils
1) Étudier d’abord les symétries pour ne sommer que
les seules composantes qui contribuent effectivement
au champ total.
2) Il faut projeter deux fois le champ élémentaire
pour obtenir la composante « utile »:une première
fois pour se ramener à la composante «horizontale »,
une deuxième pour se ramener, comme en 1) à la projection sur Ox . Quand z >> R la 1 re projection
s’exprime facilement à l’aide de
.
3) Quand a tend vers zéro on doit retrouver l’expression du champ d’un dipôle, les barycentres des charges positives et négatives se situant en (– αR, – R)
et (+ αR, – R) .
R
z
Conseils
1) Toutes les charges comprises entre q et q + dq
contribuent également au champ résultant.
2) Appliquer le théorème de superposition et le théorème de Gauss.
3) À l’extérieur de la distribution comment se comportent les deux sphères uniformément chargées ?