Sachant que
= sin q , on a dB z =
sin 3 q dj .
La contribution de tous les éléments de courant de la spire
donne j variant de 0 à 2M :
B z =
sin 3 q 2M
et B
➞ (M) =
sin 3 q = B(0) sin 3 q
M sur l’axe
avec B(0) =
, ce dernier résultat pouvant se retrouver
très rapidement.
2 • a) Le vecteur champ magnétique créé par une spire (de
rayon R , parcourue par un courant d’intensité I ) en un point
de son axe est donné par :
p
p
B(M) =
sin 3 q e
➞
x .
La circulation de B
➞ sur (xOx) est égale à C =
B(x) dx,
avec : x = –
; dx =
da et sin q = sin a.
Soit :
C :
Rda = m 0 I .
b) Soit le contour fermé constitué de la droite (D) et du demicercle (G) de rayon r infini.
B
➞
. u
u
d = m 0 I ;
B
➞
. u
u
d = m 0 I.
D’où
B
➞ . u
u
d = 0, ce qui est normal, car pour r grand,
B varie en , donc l’intégrale tend bien vers 0.
1
r 3
(G )
(D) + (G )
(D)
(G )
M
r
O
(D)
sin 3 a
sin 2 a
m 0 I
2R
0
π
R
sin 2 a
R
tan a
– ∞
+ ∞
O
M
q
a i
B(M)
x
x
R I
m 0 I
2R
m 0 I
2R
m 0 I
2R
m 0 I
4MR
m 0 I
4MR
R
IM
3 • Le solénoïde étant constitué de N spires, en utilisant le
résultat précédent, on a
B
➞ (x) dx
➞ = m 0 NI.
Champ au voisinage de l’axe
d’une spire (classique)
1 • Il y a invariance de la distribution par rotation autour de
Oz donc B ne dépend pas de q : B
➞ (P) = B
➞ (r, z) .
Tout plan passant par O 2 (plan O, e
➞
z , e
➞
r ) est plan d’antisymétrie de la distribution ; le champ B
➞ appartenant à ce plan,
n’a donc pas de composantes selon e
➞
q = B
➞ (P) =
B r (r, z)e
➞
r + B z (r, z)e
➞
z .
2 •
B
➞
. dS
➞ =
B
➞
. dS
➞
(z +dz)+
B
➞
.dS
➞
(x)+
B
➞
.dS
➞
(r)=0
B z (0, z + dz)πr 2 – B z (0, z)πr 2 + B r (r, z) 2πr × dz .
En effet comme r et dz sont petits et de même ordre de
grandeur on peut considérer que Bz varie peu avec r sur
dS(z + dz) ou dS(z) et approximer la valeur du champ sur
ces deux surfaces à la valeur du champ sur l’axe, et que Br
varie peu avec z sur dS(r) .
Donc 0 = πr 2
dz + B r (r, z) 2π r dz
D’où B r (r, z) = –
(0, z) = –
I .
3 • Au 2 e ordre en r : B z (r, z) = B z (O, z) + b(z)r 2 I .
Pour faire intervenir la composante axiale B z (r, z) à la distance r de l’axe, appliquons le théorème d’Ampère au
contour (G ) suivant :
B
➞➞
d = B z (r + dr, z)dz – B r (r, z + dz)dr
– B z (r, z)dz + B r (r, z)dr = 0 ,
car il n’y a aucun courant enlacé.
G
dz
z
r
r + dr
(G )
df (z)
dz
r
2
dB z
dz
r
2
B z
z
A dS (r)
A dS (z)
A dS
z+dz
13
– ∞
+ ∞
CORRIGÉS
Le champ magnétique permanent
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©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
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