En ne faisant pas cette approximation B(A) = m 0 n I cos a
avec cos a =
= 0,96.
On fait donc une erreur de 4 % en considérant le champ d’un
solénoïde infiniment long alors qu’il n’est constitué que de
20 spires.
À partir de chaque ligne de champ du schéma, on peut donc,
par rotation, engendrer un tube de champ. À partir de deux
lignes de champ voisines, on engendre de même un tube de
champ dont la section normale a approximativement pour aire :
S = 2 π r e.
Point C : On considère le tube de champ engendré par la rotation des deux lignes de champ qui encadrent C .
Le point C est à une distance r C ≈ 5 mm de l’axe, et les
deux lignes de champ sont écartées de e ≈ 3,5 mm ; au niveau
du point C , l’aire de la section du tube vaut approximativement 2 π r C e . La valeur approchée du flux de B
➞ à travers
ce tube de champ est donc F ≈ B(C) 2 π r C e .
À l’intérieur du solénoïde, le champ est quasiment égal à
B
➞ (A) ; les deux lignes de champ considérées sont distantes de
l’axe de r′ = 1 mm et r′′ =2m m . La section du tube de
champ vaut alors π(r′′
2 – r′ 2 ) et F = B(A) π (r′′ 2 – r′ 2 ) .
Le flux se conservant, on en déduit :
soit B(C) ≈ 2.10 –5 T.
Point D : On considère le tube de champ engendré par la rotation de la ligne de champ passant par D .
Au niveau du point D, la section du tube de champ est
approximativement un disque de rayon r 1 ≈ 8m m . D étant
suffisamment proche de l’axe, on peut supposer le champ uniforme sur tout le disque.
À l’intérieur du solénoïde, la section du tube de champ est un
disque de rayon r′ = 1 mm .
Le flux se conservant,
soit :
d’où B(D) ≈ 4 . 10 –6 T.
Conclusion : En comparant les valeurs de B(A), B(C) et B(D),
on constate que le champ s’atténue rapidement à l’extérieur
du solénoïde.
BD
BA
()
() ,
≈
1
64
BD BA
r
r
()
()
,
≈
′
2
1
2
BC BA
rr
re
BA
C
() ()
–
() ,
≈
′′
′ ≈
2
2
2
1
12
z
r c
r¢
r≤
e
C
z
55
955 2 + 5 2
Circulation du champ
magnétique créé par une spire
sur son axe
1 • Soit une spire de rayon R , d’axe Oz , de centre O parcourue par un courant d’intensité I .
Tout plan contenant l’axe Oz est un plan d’antisymétrie des
courants donc B
➞ appartient à ces plans, donc à leur intersection, soit : B
➞ (M = B(z)e
➞
z .
Calculons B
➞ (M) en utilisant la loi de Biot et Savart :
Soit un élément de courant I d
➞
en P (avec d
➞
= R dj e
➞
j ) :
dB
➞ (M)=
=
=
u
➞
,
dont la composante sur z est :
dB z =
sin q
IR dj
PM 2
m 0
4π
I R dj
PM 2
m 0
4π
I R dj e
➞
j ∧ PM
➞
PM 3
m 0
4π
I d
➞
∧ PM
➞
PM 3
m 0
4π
M
P
O
z
q
q
dy B
Ip dl
y e z
y e r
y u
dB z
x
P
I
R
y
z
j
y e r
y e j
M
x
R
P
I
O
z
y
j
12
CORRIGÉS
Le champ magnétique permanent
2
458
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
avec cos a =
= 0,96.
On fait donc une erreur de 4 % en considérant le champ d’un
solénoïde infiniment long alors qu’il n’est constitué que de
20 spires.
À partir de chaque ligne de champ du schéma, on peut donc,
par rotation, engendrer un tube de champ. À partir de deux
lignes de champ voisines, on engendre de même un tube de
champ dont la section normale a approximativement pour aire :
S = 2 π r e.
Point C : On considère le tube de champ engendré par la rotation des deux lignes de champ qui encadrent C .
Le point C est à une distance r C ≈ 5 mm de l’axe, et les
deux lignes de champ sont écartées de e ≈ 3,5 mm ; au niveau
du point C , l’aire de la section du tube vaut approximativement 2 π r C e . La valeur approchée du flux de B
➞ à travers
ce tube de champ est donc F ≈ B(C) 2 π r C e .
À l’intérieur du solénoïde, le champ est quasiment égal à
B
➞ (A) ; les deux lignes de champ considérées sont distantes de
l’axe de r′ = 1 mm et r′′ =2m m . La section du tube de
champ vaut alors π(r′′
2 – r′ 2 ) et F = B(A) π (r′′ 2 – r′ 2 ) .
Le flux se conservant, on en déduit :
soit B(C) ≈ 2.10 –5 T.
Point D : On considère le tube de champ engendré par la rotation de la ligne de champ passant par D .
Au niveau du point D, la section du tube de champ est
approximativement un disque de rayon r 1 ≈ 8m m . D étant
suffisamment proche de l’axe, on peut supposer le champ uniforme sur tout le disque.
À l’intérieur du solénoïde, la section du tube de champ est un
disque de rayon r′ = 1 mm .
Le flux se conservant,
soit :
d’où B(D) ≈ 4 . 10 –6 T.
Conclusion : En comparant les valeurs de B(A), B(C) et B(D),
on constate que le champ s’atténue rapidement à l’extérieur
du solénoïde.
BD
BA
()
() ,
≈
1
64
BD BA
r
r
()
()
,
≈
′
2
1
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C
() ()
–
() ,
≈
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2
2
2
1
12
z
r c
r¢
r≤
e
C
z
55
955 2 + 5 2
Circulation du champ
magnétique créé par une spire
sur son axe
1 • Soit une spire de rayon R , d’axe Oz , de centre O parcourue par un courant d’intensité I .
Tout plan contenant l’axe Oz est un plan d’antisymétrie des
courants donc B
➞ appartient à ces plans, donc à leur intersection, soit : B
➞ (M = B(z)e
➞
z .
Calculons B
➞ (M) en utilisant la loi de Biot et Savart :
Soit un élément de courant I d
➞
en P (avec d
➞
= R dj e
➞
j ) :
dB
➞ (M)=
=
=
u
➞
,
dont la composante sur z est :
dB z =
sin q
IR dj
PM 2
m 0
4π
I R dj
PM 2
m 0
4π
I R dj e
➞
j ∧ PM
➞
PM 3
m 0
4π
I d
➞
∧ PM
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PM 3
m 0
4π
M
P
O
z
q
q
dy B
Ip dl
y e z
y e r
y u
dB z
x
P
I
R
y
z
j
y e r
y e j
M
x
R
P
I
O
z
y
j
12
CORRIGÉS
Le champ magnétique permanent
2
458
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.