Conclusion :B
➞ ( M ) = 0
➞ , si M est à l’extérieur du tore.
si M est à l’intérieur du tore.
3 • On peut voir un solénoïde infini comme un tore dont le
rayon tend vers l’infini.
• Le champ est bien nul à l’extérieur.
• À l’intérieur du tore, le rayon r est quasiment uniforme et
égal à R , aussi grand que l’on veut.
• Le nombre de spires par unité de longueur est :
À l’intérieur, on retrouve bien un champ uniforme et égal à
m 0 nI.
Champ créé par un solénoïde
de vingt spires
1 • Le système de courants, et donc le champ B
➞ , sont invariants par rotation d’axe (Oz) , donc B
➞ (M) = B
➞ (r, z) .
Le plan du schéma, comme tout plan contenant l’axe (Oz) ,
est plan d’antisymétrie pour les courants ; en tout point du
schéma, B
➞ (M) est contenu dans ce plan donc B
➞ (M) =
B
➞ (r , z)e
➞
r + B z (r , z)e
➞
z en coordonnées cylindriques d’axe Oz .
Le plan normal à (Oz) , et équidistant de la 10
e
et de la
11
e
spires, est plan de symétrie pour les courants ; ce plan est
donc un plan d’antisymétrie pour les lignes de champ.
2 • a)
Soit un solénoïde infiniment long comportant n spires par
unité de longueur (régulièrement réparties), chacune étant
parcourue par un courant d’intensité I .
Le système du courant est invariant par translation suivant z
donc B
➞
(M) = B
➞
(r , q) .
Le système de courant est invariant par rotation autour de Oz
donc B
➞
(M) = B
➞ (r) .
Tout plan orthogonal à Oz est un plan de symétrie des courants, donc B
➞ est porté par O
➞ z , et donc : B
➞ (M) = B(r)e
➞
z .
Nous savons (résultat du cours) que le champ magnétique à l’extérieur d’un solénoïde infiniment long est
nul.
z
h
I
(G )
G
11
n
NN
R
==
longueur 2 π
.
BM
NI
r
e
➞
➞
()
,
=
µ
θ
0
2 π
Appliquons le théorème d’Ampère en choisissant le contour
(G ) du schéma :
B(r) h = m 0 nh I
soit : pour M intérieur au solénoïde B
➞
(M) = m 0 n Ie
➞
z ;
Le champ magnétique est uniforme à l’intérieur d’un solénoïde infiniment long.
b) Calculons le champ sur l’axe d’un solénoïde de longueur
finie comportant n spires par unité de longueur
ici n =
= 200 m –1
.
Soit un point M de cote z sur l’axe Oz .
Chaque spire vue sous un angle a de M contribue pour
sin 3 a au champ magnétique.
Cherchons le nombre de spires vues entre a et a + da ;
sachant que tan a =
ou MH =
, quand a
varie de da , H se déplace de dH :
dH = –
da ,
or sur une longueur dH il y a ndH spires. Le nombre
de spires entre a et a + da est égal à :
dN =
da
d’où dB =
sin 3 a da =
sin a da .
Quand a varie de a 1 à a 2 , cela donne :
B =
a 2
a 1
sin a da =
(cos a 1 – cos a 2 )
et B
➞
(N) =
(cos a 1 – cos a 2 )e
➞
z
Dans le cadre d’un solénoïde infini, on retrouve bien :
B
➞
(M) = m 0 n I e
➞
z avec a 1 = 0 et a 2 = π .
3 • Vu du point A , le système de spires est voisin d’un solénoïde infiniment long qui possède n = 200 spires par mètre,
d’où :
B
➞ (A) ≈ µ 0 n Ie
➞
z , soit B(A) ≈ 2,5 . 10 –4 T.
Tant que le modèle du solénoïde infiniment long est valable,
le champ B
➞ est quasiment égal à B
➞ (A) en tout point intérieur au solénoïde.
m 0 n I
2
m 0 n I
2
m 0 n I
2
n m 0 I
2
m 0 I
2R
nR
sin 2 a
nR
sin 2 a
R
sin 2 a
R
tan a
R
MH
m 0 I
2R
O
MH
I
I
a 1
a 2 a
z
y B ( M )
1
5 . 10 –3
CORRIGÉS
Le champ magnétique permanent
2
457
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
➞ ( M ) = 0
➞ , si M est à l’extérieur du tore.
si M est à l’intérieur du tore.
3 • On peut voir un solénoïde infini comme un tore dont le
rayon tend vers l’infini.
• Le champ est bien nul à l’extérieur.
• À l’intérieur du tore, le rayon r est quasiment uniforme et
égal à R , aussi grand que l’on veut.
• Le nombre de spires par unité de longueur est :
À l’intérieur, on retrouve bien un champ uniforme et égal à
m 0 nI.
Champ créé par un solénoïde
de vingt spires
1 • Le système de courants, et donc le champ B
➞ , sont invariants par rotation d’axe (Oz) , donc B
➞ (M) = B
➞ (r, z) .
Le plan du schéma, comme tout plan contenant l’axe (Oz) ,
est plan d’antisymétrie pour les courants ; en tout point du
schéma, B
➞ (M) est contenu dans ce plan donc B
➞ (M) =
B
➞ (r , z)e
➞
r + B z (r , z)e
➞
z en coordonnées cylindriques d’axe Oz .
Le plan normal à (Oz) , et équidistant de la 10
e
et de la
11
e
spires, est plan de symétrie pour les courants ; ce plan est
donc un plan d’antisymétrie pour les lignes de champ.
2 • a)
Soit un solénoïde infiniment long comportant n spires par
unité de longueur (régulièrement réparties), chacune étant
parcourue par un courant d’intensité I .
Le système du courant est invariant par translation suivant z
donc B
➞
(M) = B
➞
(r , q) .
Le système de courant est invariant par rotation autour de Oz
donc B
➞
(M) = B
➞ (r) .
Tout plan orthogonal à Oz est un plan de symétrie des courants, donc B
➞ est porté par O
➞ z , et donc : B
➞ (M) = B(r)e
➞
z .
Nous savons (résultat du cours) que le champ magnétique à l’extérieur d’un solénoïde infiniment long est
nul.
z
h
I
(G )
G
11
n
NN
R
==
longueur 2 π
.
BM
NI
r
e
➞
➞
()
,
=
µ
θ
0
2 π
Appliquons le théorème d’Ampère en choisissant le contour
(G ) du schéma :
B(r) h = m 0 nh I
soit : pour M intérieur au solénoïde B
➞
(M) = m 0 n Ie
➞
z ;
Le champ magnétique est uniforme à l’intérieur d’un solénoïde infiniment long.
b) Calculons le champ sur l’axe d’un solénoïde de longueur
finie comportant n spires par unité de longueur
ici n =
= 200 m –1
.
Soit un point M de cote z sur l’axe Oz .
Chaque spire vue sous un angle a de M contribue pour
sin 3 a au champ magnétique.
Cherchons le nombre de spires vues entre a et a + da ;
sachant que tan a =
ou MH =
, quand a
varie de da , H se déplace de dH :
dH = –
da ,
or sur une longueur dH il y a ndH spires. Le nombre
de spires entre a et a + da est égal à :
dN =
da
d’où dB =
sin 3 a da =
sin a da .
Quand a varie de a 1 à a 2 , cela donne :
B =
a 2
a 1
sin a da =
(cos a 1 – cos a 2 )
et B
➞
(N) =
(cos a 1 – cos a 2 )e
➞
z
Dans le cadre d’un solénoïde infini, on retrouve bien :
B
➞
(M) = m 0 n I e
➞
z avec a 1 = 0 et a 2 = π .
3 • Vu du point A , le système de spires est voisin d’un solénoïde infiniment long qui possède n = 200 spires par mètre,
d’où :
B
➞ (A) ≈ µ 0 n Ie
➞
z , soit B(A) ≈ 2,5 . 10 –4 T.
Tant que le modèle du solénoïde infiniment long est valable,
le champ B
➞ est quasiment égal à B
➞ (A) en tout point intérieur au solénoïde.
m 0 n I
2
m 0 n I
2
m 0 n I
2
n m 0 I
2
m 0 I
2R
nR
sin 2 a
nR
sin 2 a
R
sin 2 a
R
tan a
R
MH
m 0 I
2R
O
MH
I
I
a 1
a 2 a
z
y B ( M )
1
5 . 10 –3
CORRIGÉS
Le champ magnétique permanent
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La photocopie non autorisée est un délit.