Champ créé
par un « solénoïde plat »
1 • Déterminons tout d’abord le nombre de spires de rayon r
comprises entre r et r + dr :
de r = R 1 à r = R 2 il y a N spires jointives, ce qui donne
spires par unité de longueur (radiale). Donc entre
r et r + dr il y a
spires.
Elles contribuent pour dB
➞ =
sin 3 a e
➞
z
au champ total.
sin a =
taux a =
dB =
d’où B (M) =
R 2
R 1
2 • • En z = 0 l’intégrale devient
R 2
R 1
= Ln
et le champ est bien maximum et égal à
B(M) =
Ln
.
(z n’intervient qu’au dénominateur dans une somme de carrés : quand il est nul dB(M) est bien max).
• Quand z →∞,
R 2
R 1
→
R 2
R 1
=
,
ce qui donne :
B(M) =
. Le champ varie en
, c’est
une caractéristique des champs dipolaires qui seront vus au
chapitre suivant.
1
z
3
R
3
2 – R
3
1
3z 3
m 0 N I
2(R 2 – R 1 )
R
3
2 – R
3
1
3z 3
r 2 dr
z 3
r 2 dr
(r
2
+ z
2
)
3
2
R 2
R 1
m 0 N I
2(R 2 – R 1 )
R 2
R 1
dr
r
r 2 dr
(r 2 + z 2 )
3
2
m 0 N I
2(R 2 – R 1 )
r 2 dr
(r 2 + z 2 )
3
2
m 0 N I
2(R 2 – R 1 )
r
z
r
9r 2 + z 2
dy B
z
a
M
R 1
dr
R 2
m 0 NI dr
2(R 2 – R 1 )r
N dr
R 2 – R 1
N
R 2 – R 1
9
Champ magnétique produit
par une bobine torique
(INCONTOURNABLE)
1 • Le système est invariant par rotation autour de (Oz).B est
donc indépendant de q et B
➞ (M) = B
➞ (r , z) .
• Tous les plans contenant l’axe (Oz) sont plans de symétrie
pour les courants. B
➞
(M) est donc normal au plan défini par
l’axe (Oz) et le point M , soit :
B
➞ (M) = B(r , z) e
➞
q .
2 • Les lignes de champ sont des cercles centrés sur l’axe
(Oz) . B est de norme constante sur une ligne de champ, ce
qui permet de le déterminer aisément au moyen du théorème
d’Ampère.
• Soit G la ligne de champ passant par M . Son rayon est r ,
et la circulation de B
➞ le long de G est :
= 2 π r B(M) .
• Si M est à l’extérieur du tore :
– cas 1 : aucun courant ne traverse le disque délimité par G ;
– cas 3 : le disque délimité par G est traversé par N courants montants (positifs) et N courants descendants (négatifs). Le courant total traversant la surface S délimitée par G
est nul.
On remarque que, si G est extérieur au tore, il est toujours
possible de choisir une surface (S) s’appuyant sur G , traversée par aucun courant.
Dans tous les cas où M est à l’extérieur, d’après le théorème
d’Ampère, = 0 et B(M) = 0.
• Si M est à l’intérieur du tore (cas 2), seuls les courants montants traversent S . Le courant total traversant cette surface est
égal à + NI (le signe + vient de ce que la normale à la surface
est orientée comme I).
Dans ce cas, d’après le théorème d’Ampère :
= m 0 NI et BM
NI
r
()
.
=
µ 0
2 π
M
r
1
2
3
θ
θ
e r
e
10
CORRIGÉS
Le champ magnétique permanent
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©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
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