B 1 (z), B 2 (z) et B(z) pour d = 0,6 R
• Si d est grand, la somme est du type « chameau ».
• Si d est petit, la somme est du type «dromadaire ».
• Il existe donc une valeur intermédiaire de d pour laquelle
le creux (ou la bosse) du milieu est remplacé(e) par une courbe très plate.
b) Dans tous les cas, la fonction B(z) est paire. Le développement limité de B(z) au voisinage de 0 ne comportera
donc que des puissances paires.
3 • a) La courbe possède deux points d’inflexion pour le profil « dromadaire » et quatre pour le profil « chameau ».
Lorsque la dérivée seconde de B(z) s’annule en 0 , la situation est celle du cas limite où les deux points d’inflexion intérieurs se rejoignent en O ; la bosse est alors très plate.
b) La fonction B(z) étant paire, si la dérivée seconde est
nulle, le premier terme non nul de son développement de
Taylor est d’ordre 4 :
En d’autres termes, la fonction B(z) est stationnaire à l’ordre 3 ; le champ magnétique est quasi uniforme sur un domaine important, d’où l’intérêt de cette configuration.
La quasi uniformité de B
➞ ne se limite pas à l’axe. Si B
➞ est
uniforme le long de l’axe, les tubes de champ gardent une
section constante, et les lignes de champ sont parallèles. Or,
si les lignes de champ sont parallèles dans une zone dépourvue de courants, le champ est uniforme (on peut le montrer en
utilisant le théorème d’Ampère).
c) Si B′′(0) = 0, alors B 1 ′′(0) = – B 2 ′′(0).
La bobine (1) est centrée en O 1 de cote
On en déduit, en utilisant la variable adimensionnée
et la fonction f (u) définies à la question 1) :
Bz Bf u
d
R
10
2
()=+
u
z
R
=
z
d
1
2
= –.
Bz BB
zz
()
()
()
() .
()
=+
+
0
1
24
0
44
5
o
B 1 ( z )
B ( z )
z
R
B
B 0
1,8
1,6
1,4
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
2
1
0
–1
–2
B 2 (z)
et de même :
d’où la condition :
La fonction f étant paire, on a par ailleurs :
Il en résulte que la configuration recherchée est telle que
f ′′(u) s’annule pour
Conclusion :B ( z ) est stationnaire à l’ordre 3 au voisinage de
O si d = R .
d) On suppose la condition d = R réalisée :
Pour comparer simplement B(z) à B(0) , on calcule, pour
différentes valeurs de z (ou de u), le rapport :
L’étude numérique conduit aux valeurs suivantes :
où (1) =
.
On peut donc considérer le champ uniforme, à 1% près en
valeur relative, dans l’intervalle – 0,3 R z 0,3 R .
Bobine de Helmholtz : d = R
le champ sur l’axe B(z) est stationnaire à l’ordre 3
z
R
B
B 0
1,4
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
–1
–0,5
0
0,5
1
fu
fu
f
(, )( –,)
()
++ 05
05
20
Bz
B
fu
fu
f
()
()
(, )( –,)
()
.
0
05
05
20
=
++
Bz Bf uf u
()
–.
=+
+
0
1
2
1
2
u =±
1
2
.
′′ = +
fu
u
u
()
–
()
;
/
12
3
1
2
272
′′
=
f
d
R
2
0.
′′
= ′′
f
d
R
f
d
R
22
–.
′′
= ′′
f
d
R
f
d
R
22
––
.
Bz Bf u
d
R
20
2
()
–;
=
CORRIGÉS
Le champ magnétique permanent
2
455
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
u
00 ,1
0,2
0,3
0,31
(1)
1,0000 0,9999 0,9982 0,9916 0,9904
• Si d est grand, la somme est du type « chameau ».
• Si d est petit, la somme est du type «dromadaire ».
• Il existe donc une valeur intermédiaire de d pour laquelle
le creux (ou la bosse) du milieu est remplacé(e) par une courbe très plate.
b) Dans tous les cas, la fonction B(z) est paire. Le développement limité de B(z) au voisinage de 0 ne comportera
donc que des puissances paires.
3 • a) La courbe possède deux points d’inflexion pour le profil « dromadaire » et quatre pour le profil « chameau ».
Lorsque la dérivée seconde de B(z) s’annule en 0 , la situation est celle du cas limite où les deux points d’inflexion intérieurs se rejoignent en O ; la bosse est alors très plate.
b) La fonction B(z) étant paire, si la dérivée seconde est
nulle, le premier terme non nul de son développement de
Taylor est d’ordre 4 :
En d’autres termes, la fonction B(z) est stationnaire à l’ordre 3 ; le champ magnétique est quasi uniforme sur un domaine important, d’où l’intérêt de cette configuration.
La quasi uniformité de B
➞ ne se limite pas à l’axe. Si B
➞ est
uniforme le long de l’axe, les tubes de champ gardent une
section constante, et les lignes de champ sont parallèles. Or,
si les lignes de champ sont parallèles dans une zone dépourvue de courants, le champ est uniforme (on peut le montrer en
utilisant le théorème d’Ampère).
c) Si B′′(0) = 0, alors B 1 ′′(0) = – B 2 ′′(0).
La bobine (1) est centrée en O 1 de cote
On en déduit, en utilisant la variable adimensionnée
et la fonction f (u) définies à la question 1) :
Bz Bf u
d
R
10
2
()=+
u
z
R
=
z
d
1
2
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Bz BB
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()
()
()
() .
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+
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B 1 ( z )
B ( z )
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R
B
B 0
1,8
1,6
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0,8
0,6
0,4
0,2
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1
0
–1
–2
B 2 (z)
et de même :
d’où la condition :
La fonction f étant paire, on a par ailleurs :
Il en résulte que la configuration recherchée est telle que
f ′′(u) s’annule pour
Conclusion :B ( z ) est stationnaire à l’ordre 3 au voisinage de
O si d = R .
d) On suppose la condition d = R réalisée :
Pour comparer simplement B(z) à B(0) , on calcule, pour
différentes valeurs de z (ou de u), le rapport :
L’étude numérique conduit aux valeurs suivantes :
où (1) =
.
On peut donc considérer le champ uniforme, à 1% près en
valeur relative, dans l’intervalle – 0,3 R z 0,3 R .
Bobine de Helmholtz : d = R
le champ sur l’axe B(z) est stationnaire à l’ordre 3
z
R
B
B 0
1,4
1,2
1
0,8
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0,4
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Le champ magnétique permanent
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©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
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