2 • Avec les valeurs proposées :
6 000 tours/minute → 100 tours/seconde
→ w = 200 π rad . s –1
B max = 1,4 . 10 –7 T.
Cette valeur est très faible par rapport au champ terrestre qui
est de l’ordre de quelques 10
–5 T.Rowland est néanmoins
parvenu, grâce à un jeu d’aiguilles aimantées, à prouver
l’existence de ce champ.
Champ magnétique créé par
une sphère chargée en rotation
1 • Les charges en mouvement à la surface de la sphère se
comportent comme des courants annulaires ou des « spires »
de courant.
Entre q et q + dq les charges se répartissent sur une
surface dS = 2π R sin q × R dq qui porte donc la charge
dq =
dS =
sin q dq
Cette charge se déplace à la vitesse v = R sin q w .
En un tour il s’est donc écoulé dq dans cette spire, ce qui
correspond à un courant dI =
=
w =
qui contribue pour dB
➞ =
× sin 3 q e
➞
z =
e
➞
z au champ total.
B(0) =
π
0
sin 3 q dq =
.
2 • En un point très éloigné le calcul est
le même : la « spire » située entre q et
q + dq contribue pour
dB
➞ (M) =
sin 3 q e
➞
z
au champ total.
Si M est très éloigné de O on peut
approximer sin j par
R sin q
z
m 0 dI
2R sin q
m 0 Q w
6π R
m 0 w
8π R
m 0 w sin 3 q dq
8π R
m 0 dI
2R sin q
Q w sin q dq
4π
dq
2π
dq
T
ω
q
dq
Rdq
Rsinq
dy B(0)
Q
2
Q
4π R 2
7
il vient alors
dB(M)=
3
=
sin 3 q dq
d’où B(M) =
π
0
sin 3 q dq =
On verra comment retrouver ce résultat en assimilant la distribution à un dipôle magnétique au chapitre suivant.
Bobines de Gaugain-Helmholtz
1 • Soit O le centre de la bobine, perpendiculaire à l’axe
(Oz) .
• Le champ au centre est B
➞ (0) = B 0 e
➞
z , avec :
B 0 =
.
• Le champ en un point de l’axe de cote z est B
➞ = B(z) e
➞
z ,
avec B(z) = B 0 sin
3
a ; ou encore :
2 • a) La courbe représentative de la fonction B(z) est une
courbe « en cloche » ; elle possède nécessairement deux
points d’inflexion où sa dérivée seconde est nulle.
B 1 (z), B 2 (z) et B(z) pour d = 3 R
Le schéma représente les deux courbes en cloche identiques,
centrées en
et la somme des deux fonctions.
z
d
=± 2
,
z
R
2
1
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
–1
–2
B
B 0
B 1 (z)
B 2 (z)
B(z)
Bz B
u
u
z
R
()
()
.
/
=
+
=
0232
1
1
avec
m 0 NI
2R
8
m 0 R 2 Q w
6π z 3
m 0 R 2 Q w
8π z 3
m 0 R 2 Q w
8π z 3
Q w sin q dq
4π
R sin q
z
m 0
2R sin q
CORRIGÉS
Le champ magnétique permanent
2
454
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
q
j
6 000 tours/minute → 100 tours/seconde
→ w = 200 π rad . s –1
B max = 1,4 . 10 –7 T.
Cette valeur est très faible par rapport au champ terrestre qui
est de l’ordre de quelques 10
–5 T.Rowland est néanmoins
parvenu, grâce à un jeu d’aiguilles aimantées, à prouver
l’existence de ce champ.
Champ magnétique créé par
une sphère chargée en rotation
1 • Les charges en mouvement à la surface de la sphère se
comportent comme des courants annulaires ou des « spires »
de courant.
Entre q et q + dq les charges se répartissent sur une
surface dS = 2π R sin q × R dq qui porte donc la charge
dq =
dS =
sin q dq
Cette charge se déplace à la vitesse v = R sin q w .
En un tour il s’est donc écoulé dq dans cette spire, ce qui
correspond à un courant dI =
=
w =
qui contribue pour dB
➞ =
× sin 3 q e
➞
z =
e
➞
z au champ total.
B(0) =
π
0
sin 3 q dq =
.
2 • En un point très éloigné le calcul est
le même : la « spire » située entre q et
q + dq contribue pour
dB
➞ (M) =
sin 3 q e
➞
z
au champ total.
Si M est très éloigné de O on peut
approximer sin j par
R sin q
z
m 0 dI
2R sin q
m 0 Q w
6π R
m 0 w
8π R
m 0 w sin 3 q dq
8π R
m 0 dI
2R sin q
Q w sin q dq
4π
dq
2π
dq
T
ω
q
dq
Rdq
Rsinq
dy B(0)
Q
2
Q
4π R 2
7
il vient alors
dB(M)=
3
=
sin 3 q dq
d’où B(M) =
π
0
sin 3 q dq =
On verra comment retrouver ce résultat en assimilant la distribution à un dipôle magnétique au chapitre suivant.
Bobines de Gaugain-Helmholtz
1 • Soit O le centre de la bobine, perpendiculaire à l’axe
(Oz) .
• Le champ au centre est B
➞ (0) = B 0 e
➞
z , avec :
B 0 =
.
• Le champ en un point de l’axe de cote z est B
➞ = B(z) e
➞
z ,
avec B(z) = B 0 sin
3
a ; ou encore :
2 • a) La courbe représentative de la fonction B(z) est une
courbe « en cloche » ; elle possède nécessairement deux
points d’inflexion où sa dérivée seconde est nulle.
B 1 (z), B 2 (z) et B(z) pour d = 3 R
Le schéma représente les deux courbes en cloche identiques,
centrées en
et la somme des deux fonctions.
z
d
=± 2
,
z
R
2
1
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
–1
–2
B
B 0
B 1 (z)
B 2 (z)
B(z)
Bz B
u
u
z
R
()
()
.
/
=
+
=
0232
1
1
avec
m 0 NI
2R
8
m 0 R 2 Q w
6π z 3
m 0 R 2 Q w
8π z 3
m 0 R 2 Q w
8π z 3
Q w sin q dq
4π
R sin q
z
m 0
2R sin q
CORRIGÉS
Le champ magnétique permanent
2
454
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
q
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