dB
➞ =
×× sin 3 q e
➞
z au champ total.
On en déduit :
B
➞ (O) =
sin 2 q dq . e
➞
z
or
d q =
donc B
➞
(O) =
e
➞
z .
2 • Spires équidistantes (non jointives)
Le nombre de spires situées entre deux plans de cotes z et
z +dz est donné par n d z =
d z , soit n =
.
cos q =
⇒ – sin q dq =
donc dz = – R sin q dq ; il y a donc n d z =
d z , soit
sin q dq spires de rayons R sin q entre q et q + dq .
Ces spires contribuent pour
dB
➞ =
×
sin q dq × sin 3 q e
➞
z au champ total
= +
sin
3
q dq e
➞
z
alors B(O) =
sin
3
q dq
=
sin q(1 – cos 2q)dq
=
2 – (– sin q + sin 3q)dq
=
2 + 1 – =
Disque de Rowland
1 • Le disque en rotation peut être considéré comme un
ensemble continu de spires circulaires concentriques.
Le champ B
➞ en un point M de l’axe (Oz) est de la forme
B
➞ (M) = B(a) e
➞
z .
• La spire élémentaire de rayon r et de largeur dr contient
une charge dq = s 2 π r dr .
6
m 0 N I
3R
1
3
m 0 N I
8R
0
π
1
2
m 0 N I
8R
0
π
m 0 N I
8R
0
π
m 0 N I
4R
m 0 I N
4R
NI
2
m 0
2(R sin q)
N
2
N
2R
dz
R
z
R
N
2R
N
2R
m 0 NI
4R
m 0 NπI
4πR
1 – cos 2q
2
m 0 NI
2πR
0
π
m 0 NI
2πR
0
π
N I dq
π
m 0
2(R sin q)
Pendant une période
cette charge dq traverse une
section quelconque de la « spire » ; l’intensité associée est
donc telle que dq = T dI , soit :
dI = swrdr .
• La spire élémentaire crée en M un champ :
La variable q semble plus appropriée au calcul de l’intégrale que la variable r :
r = z tan q , d’où
et
On pose u = cos q .
B(a) =
soit :
Au point O ,
À l’infini, a → 0 et B → 0 .
B′(a) ne s’annule que pour a = 0 et a =
: le champ est
maximal au voisinage du centre O .
B
UR
e
max
.
=
µε ω
00
2
π
2
′
=
B
R
()
–cos
sin
(– cos –cos ).
α
µσ ωα
α
αα
0
2
2
1
2
a
me
w
=
=
π
π
2
22
00
et B
UR
e
.
UR
e
(– cos )
sin
.
µε ωα
α
=
00
2
2
1
B
R
()
(– cos )
sin
α
µσ ωα
α
=
0
2
2
1
2
1
2
0
R
tan
cos
cos –;
=
+
µσ ω
αα
α
2
1
2
0
z
cos
cos –
=
+
µσ ω
α
α
1 1
2
u
u
–
d
cos a
1
dB
z
=
µσ ω
0
2
r =0
R
sin
cos
––
.
3
2
2
1 1
θ
θ
θ
dd =
u
u
d
d
B
z
=
sin
cos
.
0
3
2
2
µσ ωθ
θ
θ
dd
d
d
r
z
I
zr
=
=
cos
;
cos
2
2
θ
θσ ω
θ
θ
r
R
M
z
θ
ω
α
d
d
B
I
r
=
µ
θ
0
3
2
sin .
T =
2 π
ω
,
CORRIGÉS
Le champ magnétique permanent
2
453
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
➞ =
×× sin 3 q e
➞
z au champ total.
On en déduit :
B
➞ (O) =
sin 2 q dq . e
➞
z
or
d q =
donc B
➞
(O) =
e
➞
z .
2 • Spires équidistantes (non jointives)
Le nombre de spires situées entre deux plans de cotes z et
z +dz est donné par n d z =
d z , soit n =
.
cos q =
⇒ – sin q dq =
donc dz = – R sin q dq ; il y a donc n d z =
d z , soit
sin q dq spires de rayons R sin q entre q et q + dq .
Ces spires contribuent pour
dB
➞ =
×
sin q dq × sin 3 q e
➞
z au champ total
= +
sin
3
q dq e
➞
z
alors B(O) =
sin
3
q dq
=
sin q(1 – cos 2q)dq
=
2 – (– sin q + sin 3q)dq
=
2 + 1 – =
Disque de Rowland
1 • Le disque en rotation peut être considéré comme un
ensemble continu de spires circulaires concentriques.
Le champ B
➞ en un point M de l’axe (Oz) est de la forme
B
➞ (M) = B(a) e
➞
z .
• La spire élémentaire de rayon r et de largeur dr contient
une charge dq = s 2 π r dr .
6
m 0 N I
3R
1
3
m 0 N I
8R
0
π
1
2
m 0 N I
8R
0
π
m 0 N I
8R
0
π
m 0 N I
4R
m 0 I N
4R
NI
2
m 0
2(R sin q)
N
2
N
2R
dz
R
z
R
N
2R
N
2R
m 0 NI
4R
m 0 NπI
4πR
1 – cos 2q
2
m 0 NI
2πR
0
π
m 0 NI
2πR
0
π
N I dq
π
m 0
2(R sin q)
Pendant une période
cette charge dq traverse une
section quelconque de la « spire » ; l’intensité associée est
donc telle que dq = T dI , soit :
dI = swrdr .
• La spire élémentaire crée en M un champ :
La variable q semble plus appropriée au calcul de l’intégrale que la variable r :
r = z tan q , d’où
et
On pose u = cos q .
B(a) =
soit :
Au point O ,
À l’infini, a → 0 et B → 0 .
B′(a) ne s’annule que pour a = 0 et a =
: le champ est
maximal au voisinage du centre O .
B
UR
e
max
.
=
µε ω
00
2
π
2
′
=
B
R
()
–cos
sin
(– cos –cos ).
α
µσ ωα
α
αα
0
2
2
1
2
a
me
w
=
=
π
π
2
22
00
et B
UR
e
.
UR
e
(– cos )
sin
.
µε ωα
α
=
00
2
2
1
B
R
()
(– cos )
sin
α
µσ ωα
α
=
0
2
2
1
2
1
2
0
R
tan
cos
cos –;
=
+
µσ ω
αα
α
2
1
2
0
z
cos
cos –
=
+
µσ ω
α
α
1 1
2
u
u
–
d
cos a
1
dB
z
=
µσ ω
0
2
r =0
R
sin
cos
––
.
3
2
2
1 1
θ
θ
θ
dd =
u
u
d
d
B
z
=
sin
cos
.
0
3
2
2
µσ ωθ
θ
θ
dd
d
d
r
z
I
zr
=
=
cos
;
cos
2
2
θ
θσ ω
θ
θ
r
R
M
z
θ
ω
α
d
d
B
I
r
=
µ
θ
0
3
2
sin .
T =
2 π
ω
,
CORRIGÉS
Le champ magnétique permanent
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