Ce qui donne :
(r, z)dr dz –
dr dz = 0
soit
=
, et ainsi :
2b(z)r I = –
= –
I
soit : b(z) = –
ou B z (r, z) = B z (0, z) –
B z (0, z) .
4 • Ainsi avec M(0, 0, z) et P(r, q, z) :
avec B
➞
(M) = B(M)e
➞
z = B(z)e
➞
z
B
➞ (P) = B
➞ (M) –
B(z)e
➞
r –
B(z)e
➞
z
Courant angulaire
Calculer tout d’abord le champ créé par un seul demi-fil infini au moint M.
L’élément Id
➞ centré au point P créé un champ
dB
➞
1 =
.
La relation des sinus dans le triangle OPM nous donne :
=
=
=
.
PM =
et OP =
; OM = x .
On en déduit
PM 2 =
et dOP = d = x
.
Par ailleurs d
➞ ∧ e
➞
PM = sin (j – a) d e
➞
z d’où
dB
➞
1 =
=
e
➞
z .
Pour tout le fil il faut faire varier a de 0 à j. Il vient
B
➞
1 =
e
➞
z =
x tan e
➞
z .
Pour trouver le champ créé par l’autre fil, il suffit de considérer le plan xOz qui est un plan d’antisymétrie de la distribuj
2
m 0 I
4π
(1 – cos j)
sin j
m 0 I
4πx
d[cos (j – a)
sin j
m 0 I
4π
sin (j – a) da e
➞
z
x sin j
m 0 I
4π
sin j da
sin 2 (j – a)
x 2 sin 2 j
sin 2 (j – a)
OM sin a
sin (j – a)
OM sin j
sin (j – x)
OP
sin a
OM
sin (j – a)
PM
sin j
PM
sin (π – j)
d
➞ ∧ e
➞
P → M
PM 2
m 0 I
4π
M
P
Ox
y
z
a
j
d y B
I p dl
14
d 2
dz 2
r 2
4
d
dz
r
2
d 2
dz 2
r 2
4
d
2
f
dz 2
1
4
d
2
f (z)
dz 2
r
2
d 2 B z (0, z)
dz
r
2
∂ B r
∂ z
∂ B z
∂ r
∂ B r
∂ z
∂ B z
∂ r
tion de courant. L’autre fil créé donne en M un champ égal
à l’opposé du symétrique de B
➞
1 : soit B
➞
2 = B
➞
1 . Le champ
total vaut donc
B
➞ =
tan e
➞
z .
Dans le cas du point M, un calcul rigoureusement analogue
nous mène à
B
➞ =
e
➞
z = –
e
➞
z .
Remarque
Si j = , on retrouve le champ magnétique B
➞ créé par un
fil rectiligne infini.
Flux du champ d’une spire
à travers un solénoïde
Prenons l’origine de l’axe des z à l’extrémité gauche du solénoïde. Considérons le flux envoyé par la grande spire à travers les spires comprises entre la cote z et la cote z + dz du
solénoïde (voir figure).
Il y a n dz spires qui sont traversées par le champ
B
➞ (M) =
sin 3 q e
➞
z qui y crée donc un flux
dF = B
➞
. dS
➞ =
sin 3 q × n dz.
Posons OA = d >0; l’angle q est défini par
tan q =
, soit encore z =
– d . La relation
liant dz et dq est donc : dz = –
dq , ce qui donne
R
sin 2 q
R
tan q
R
z + d
m 0 I π r 2
2R
m 0 I
2R
A
I
O
M
q
A
dS
z
15
π
2
P
j
a
dy B
r
e PM¢
p
dl
y
M¢
z
1
tan
j
2
m 0 I
2πx
(1 + cos j)
sin j
m 0 I
2πx
j
2
m 0 I
2πx
CORRIGÉS
Le champ magnétique permanent
2
460
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
(r, z)dr dz –
dr dz = 0
soit
=
, et ainsi :
2b(z)r I = –
= –
I
soit : b(z) = –
ou B z (r, z) = B z (0, z) –
B z (0, z) .
4 • Ainsi avec M(0, 0, z) et P(r, q, z) :
avec B
➞
(M) = B(M)e
➞
z = B(z)e
➞
z
B
➞ (P) = B
➞ (M) –
B(z)e
➞
r –
B(z)e
➞
z
Courant angulaire
Calculer tout d’abord le champ créé par un seul demi-fil infini au moint M.
L’élément Id
➞ centré au point P créé un champ
dB
➞
1 =
.
La relation des sinus dans le triangle OPM nous donne :
=
=
=
.
PM =
et OP =
; OM = x .
On en déduit
PM 2 =
et dOP = d = x
.
Par ailleurs d
➞ ∧ e
➞
PM = sin (j – a) d e
➞
z d’où
dB
➞
1 =
=
e
➞
z .
Pour tout le fil il faut faire varier a de 0 à j. Il vient
B
➞
1 =
e
➞
z =
x tan e
➞
z .
Pour trouver le champ créé par l’autre fil, il suffit de considérer le plan xOz qui est un plan d’antisymétrie de la distribuj
2
m 0 I
4π
(1 – cos j)
sin j
m 0 I
4πx
d[cos (j – a)
sin j
m 0 I
4π
sin (j – a) da e
➞
z
x sin j
m 0 I
4π
sin j da
sin 2 (j – a)
x 2 sin 2 j
sin 2 (j – a)
OM sin a
sin (j – a)
OM sin j
sin (j – x)
OP
sin a
OM
sin (j – a)
PM
sin j
PM
sin (π – j)
d
➞ ∧ e
➞
P → M
PM 2
m 0 I
4π
M
P
Ox
y
z
a
j
d y B
I p dl
14
d 2
dz 2
r 2
4
d
dz
r
2
d 2
dz 2
r 2
4
d
2
f
dz 2
1
4
d
2
f (z)
dz 2
r
2
d 2 B z (0, z)
dz
r
2
∂ B r
∂ z
∂ B z
∂ r
∂ B r
∂ z
∂ B z
∂ r
tion de courant. L’autre fil créé donne en M un champ égal
à l’opposé du symétrique de B
➞
1 : soit B
➞
2 = B
➞
1 . Le champ
total vaut donc
B
➞ =
tan e
➞
z .
Dans le cas du point M, un calcul rigoureusement analogue
nous mène à
B
➞ =
e
➞
z = –
e
➞
z .
Remarque
Si j = , on retrouve le champ magnétique B
➞ créé par un
fil rectiligne infini.
Flux du champ d’une spire
à travers un solénoïde
Prenons l’origine de l’axe des z à l’extrémité gauche du solénoïde. Considérons le flux envoyé par la grande spire à travers les spires comprises entre la cote z et la cote z + dz du
solénoïde (voir figure).
Il y a n dz spires qui sont traversées par le champ
B
➞ (M) =
sin 3 q e
➞
z qui y crée donc un flux
dF = B
➞
. dS
➞ =
sin 3 q × n dz.
Posons OA = d >0; l’angle q est défini par
tan q =
, soit encore z =
– d . La relation
liant dz et dq est donc : dz = –
dq , ce qui donne
R
sin 2 q
R
tan q
R
z + d
m 0 I π r 2
2R
m 0 I
2R
A
I
O
M
q
A
dS
z
15
π
2
P
j
a
dy B
r
e PM¢
p
dl
y
M¢
z
1
tan
j
2
m 0 I
2πx
(1 + cos j)
sin j
m 0 I
2πx
j
2
m 0 I
2πx
CORRIGÉS
Le champ magnétique permanent
2
460
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La photocopie non autorisée est un délit.