©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
Dans cet exercice, on cherche à connaître le champ en un
point voisin de l’axe Oz .
1 • Justifier que l’on cherche un champ de la forme
B r (r, z)e r + B z (r, z)e z .
2 • Exprimer le flux de B à travers une surface cylindrique élémentaire fermée de rayon r , hauteur dz (r et
dz étant du même ordre de grandeur). En déduire le développement limité au 1 er ordre de B r (r, z) en considérant
que B z (r, z) ≈ B(M) , M étant sur l’axe.
On précisera pourquoi r et la hauteur du cylindre doivent
être petits (ce calcul n’est valable qu’au voisinage de
l’axe !).
3 • Trouver alors le développement limité au second ordre
de B z (r, z) en posant B z (r, z) = B z (0, z) + b(z)r
2
I.
Expliciter b(z) en prenant le contour suivant :
4 • En déduire le champ B
➞ en un point P de coordonnées (r , q , z) avec r << R , connaissant B
➞ en M de
coordonnées (0, 0, z) .
dz
z
r
r + dr
(G )
z
r
dz
P
M
Circulation du champ
magnétique créé par une spire
sur son axe
Soit une spire d’axe Oz , de centre O , de rayon R parcourue par un courant d’intensité I .
1 • Calculer B
➞
(M) en un point M de l’axe Oz .
2 • a) Calculer la circulation du champ magnétique le long
de l’axe (Oz) (de – ∞ à + ∞).
b) Interpréter le résultat obtenu.
3 • Calculer de même la circulation du champ magnétique
le long de l’axe (Ox) (de – ∞ à + ∞) d’un solénoïde circulaire de rayon R , de longueur et comportant N spires
jointives parcourues chacune par un courant d’intensité I .
Champ au voisinage de l’axe
d’une spire (INCONTOURNABLE)
Soit une spire de rayon R , d’axe Oz parcourue par un
courant d’intensité I . On connaît le champ créé par cette
spire en tout point de son axe Oz :
B(M) = f (z)I avec f (z) =
sin
3
q .
(voir exercice précédent)
r
x
y
R
P(r, q, z)
M(0, 0, z)
I
O
z
q
q
m 0
2R
13
M
R
I
O
z
12
EXERCICES
Le champ magnétique permanent
2
448
Conseils
1) Ce calcul doit être connu ; il fait partie des
INCONTOURNABLES.
2) permet de « retrouver » le théorème d’Ampère.
La question 3) en présente une application.
Conseils
1) L’ étude habituelle des symétries et des invariances
permet de répondre à la première question.
2) r étant petit, comme la hauteur du cylindre, il n’est
pas besoin d’intégrer sur les différentes surfaces pour
exprimer le flux. Se souvenir que le flux de B à travers n’importe quelle surface fermée est nul.
3) En appliquant le théorème d’Ampère sur un
contour élémentaire ad hoc, le calcul de la circulation
de B , développé au second ordre en r , permet d’expliciter b(z) .
4) On remarquera que B(P) s’exprime uniquement
en fonction de B sur l’axe.
La photocopie non autorisée est un délit.
Dans cet exercice, on cherche à connaître le champ en un
point voisin de l’axe Oz .
1 • Justifier que l’on cherche un champ de la forme
B r (r, z)e r + B z (r, z)e z .
2 • Exprimer le flux de B à travers une surface cylindrique élémentaire fermée de rayon r , hauteur dz (r et
dz étant du même ordre de grandeur). En déduire le développement limité au 1 er ordre de B r (r, z) en considérant
que B z (r, z) ≈ B(M) , M étant sur l’axe.
On précisera pourquoi r et la hauteur du cylindre doivent
être petits (ce calcul n’est valable qu’au voisinage de
l’axe !).
3 • Trouver alors le développement limité au second ordre
de B z (r, z) en posant B z (r, z) = B z (0, z) + b(z)r
2
I.
Expliciter b(z) en prenant le contour suivant :
4 • En déduire le champ B
➞ en un point P de coordonnées (r , q , z) avec r << R , connaissant B
➞ en M de
coordonnées (0, 0, z) .
dz
z
r
r + dr
(G )
z
r
dz
P
M
Circulation du champ
magnétique créé par une spire
sur son axe
Soit une spire d’axe Oz , de centre O , de rayon R parcourue par un courant d’intensité I .
1 • Calculer B
➞
(M) en un point M de l’axe Oz .
2 • a) Calculer la circulation du champ magnétique le long
de l’axe (Oz) (de – ∞ à + ∞).
b) Interpréter le résultat obtenu.
3 • Calculer de même la circulation du champ magnétique
le long de l’axe (Ox) (de – ∞ à + ∞) d’un solénoïde circulaire de rayon R , de longueur et comportant N spires
jointives parcourues chacune par un courant d’intensité I .
Champ au voisinage de l’axe
d’une spire (INCONTOURNABLE)
Soit une spire de rayon R , d’axe Oz parcourue par un
courant d’intensité I . On connaît le champ créé par cette
spire en tout point de son axe Oz :
B(M) = f (z)I avec f (z) =
sin
3
q .
(voir exercice précédent)
r
x
y
R
P(r, q, z)
M(0, 0, z)
I
O
z
q
q
m 0
2R
13
M
R
I
O
z
12
EXERCICES
Le champ magnétique permanent
2
448
Conseils
1) Ce calcul doit être connu ; il fait partie des
INCONTOURNABLES.
2) permet de « retrouver » le théorème d’Ampère.
La question 3) en présente une application.
Conseils
1) L’ étude habituelle des symétries et des invariances
permet de répondre à la première question.
2) r étant petit, comme la hauteur du cylindre, il n’est
pas besoin d’intégrer sur les différentes surfaces pour
exprimer le flux. Se souvenir que le flux de B à travers n’importe quelle surface fermée est nul.
3) En appliquant le théorème d’Ampère sur un
contour élémentaire ad hoc, le calcul de la circulation
de B , développé au second ordre en r , permet d’expliciter b(z) .
4) On remarquera que B(P) s’exprime uniquement
en fonction de B sur l’axe.