©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
Champ créé
par un « solénoïde plat »(oral)
Un «solénoïde plat » est obtenu en juxtaposant N spires
parcourues par I de a = a 1 à a = a 2 .
1 • Poser l’intégrale qui permet de calculer le champ créé
en M .
2 • Que dire de cette intégrale en z = 0 , en z tendant vers
l’infini ?
Champ magnétique produit
par une bobine torique
(INCONTOURNABLE)
Un tore est engendré par la rotation d’une surface plane S
autour d’un axe (Oz) . Une bobine de N spires parcourues par un courant I est enroulée régulièrement sur le
tore. Elles sont suffisamment serrées pour être assimilées
à une nappe surfacique continue.
1 • Étudier les symétries de B
➞ .
2 • Exprimer le champ B
➞ en un point M repéré par ses
coordonnées cylindriques (r , q , z) .
10
y
B
z
M
I
a 1
a 2
9
Bobines de Gaugain-Helmholtz
(INCONTOURNABLE)
1 • Rappeler l’expression du champ créé en un point de
son axe par une bobine de N spires circulaires de rayon
R parcourue par un courant I ; on considère que toutes
les spires ont même rayon et qu’elles se trouvent toutes
dans le plan z = 0 .
On notera B 0 le champ au centre de la bobine et on exprimera la fonction f (u) telle que B(z) = B 0 f (u) , avec
2 • Deux bobines identiques (rayon R , N spires) et perpendiculaires à l’axe (Oz) sont centrées en deux points O 1
et O 2 de cotes
et
Elles sont parcourues par le
même courant I , dans le même sens.
On note B
➞
(z) = B(z) e
➞
z le champ magnétique en un point
de l’axe.
a) Représenter sur un même graphe les champs B 1 (z) et
B 2 (z) créés par chaque bobine, ainsi que le champ B total.
On distinguera le cas où les bobines sont proches et celui
où elles sont éloignées.
b) Quelle est la parité de la fonction B(z) ?
3 • Il existe une valeur de d pour laquelle la dérivée
seconde B(z) s’annule en O .
a) Représenter graphiquement B 1 (z) , B 2 (z) et B(z) dans
cette situation.
b) Que peut-on dire de la variation du champ B
➞ au voisinage de O ? Quel est l’intérêt de cette configuration ?
c) Calculer la valeur de d pour cette configuration appelée « bobines de Helmholtz ».
d) Par un calcul numérique, définir l’intervalle de z pour
lequel B(z) ≈ B(0) à 1% près en valeur relative.
–.
d
2
d
2
u
z
R
= .
8
EXERCICES
Le champ magnétique permanent
2
446
Conseils
1) Les spires étant jointives, celles qui sont comprises
entre r et r + dr contribuent également au champ
en M . On connaît le champ créé en M par une spire,
il faut donc déterminer combien de spires sont comprises entre r et r + dr .
2) En z = 0 on est au plus proche des courants, l’intégrale doit donc être maximale ; à l’infini on doit
retrouver le champ d’un dipôle (voir au chapitre suivant) en un point de l’axe de ce dipôle.
Conseils
Il est préférable de connaître le résultat demandé à la
question 1). On pourra commencer par tracer, avec
une calculatrice graphique, la courbe représentant
en fonction de
, pour différentes valeurs
de d .
Quel est le signe de la dérivée d’une courbe « en cloche » ? Possède-t-elle des points d’inflexion ?
Si le champ B
➞ est uniforme le long d’une ligne de
champ, alors les lignes de champ voisines sont parallèles ; pourquoi ?
Si la dérivée seconde en 0 d’une fonction paire est
nulle, quel est l’ordre de la plus faible puissance dans
le développement de Taylor ?
z
R
B
B 0
La photocopie non autorisée est un délit.
Champ créé
par un « solénoïde plat »(oral)
Un «solénoïde plat » est obtenu en juxtaposant N spires
parcourues par I de a = a 1 à a = a 2 .
1 • Poser l’intégrale qui permet de calculer le champ créé
en M .
2 • Que dire de cette intégrale en z = 0 , en z tendant vers
l’infini ?
Champ magnétique produit
par une bobine torique
(INCONTOURNABLE)
Un tore est engendré par la rotation d’une surface plane S
autour d’un axe (Oz) . Une bobine de N spires parcourues par un courant I est enroulée régulièrement sur le
tore. Elles sont suffisamment serrées pour être assimilées
à une nappe surfacique continue.
1 • Étudier les symétries de B
➞ .
2 • Exprimer le champ B
➞ en un point M repéré par ses
coordonnées cylindriques (r , q , z) .
10
y
B
z
M
I
a 1
a 2
9
Bobines de Gaugain-Helmholtz
(INCONTOURNABLE)
1 • Rappeler l’expression du champ créé en un point de
son axe par une bobine de N spires circulaires de rayon
R parcourue par un courant I ; on considère que toutes
les spires ont même rayon et qu’elles se trouvent toutes
dans le plan z = 0 .
On notera B 0 le champ au centre de la bobine et on exprimera la fonction f (u) telle que B(z) = B 0 f (u) , avec
2 • Deux bobines identiques (rayon R , N spires) et perpendiculaires à l’axe (Oz) sont centrées en deux points O 1
et O 2 de cotes
et
Elles sont parcourues par le
même courant I , dans le même sens.
On note B
➞
(z) = B(z) e
➞
z le champ magnétique en un point
de l’axe.
a) Représenter sur un même graphe les champs B 1 (z) et
B 2 (z) créés par chaque bobine, ainsi que le champ B total.
On distinguera le cas où les bobines sont proches et celui
où elles sont éloignées.
b) Quelle est la parité de la fonction B(z) ?
3 • Il existe une valeur de d pour laquelle la dérivée
seconde B(z) s’annule en O .
a) Représenter graphiquement B 1 (z) , B 2 (z) et B(z) dans
cette situation.
b) Que peut-on dire de la variation du champ B
➞ au voisinage de O ? Quel est l’intérêt de cette configuration ?
c) Calculer la valeur de d pour cette configuration appelée « bobines de Helmholtz ».
d) Par un calcul numérique, définir l’intervalle de z pour
lequel B(z) ≈ B(0) à 1% près en valeur relative.
–.
d
2
d
2
u
z
R
= .
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EXERCICES
Le champ magnétique permanent
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Conseils
1) Les spires étant jointives, celles qui sont comprises
entre r et r + dr contribuent également au champ
en M . On connaît le champ créé en M par une spire,
il faut donc déterminer combien de spires sont comprises entre r et r + dr .
2) En z = 0 on est au plus proche des courants, l’intégrale doit donc être maximale ; à l’infini on doit
retrouver le champ d’un dipôle (voir au chapitre suivant) en un point de l’axe de ce dipôle.
Conseils
Il est préférable de connaître le résultat demandé à la
question 1). On pourra commencer par tracer, avec
une calculatrice graphique, la courbe représentant
en fonction de
, pour différentes valeurs
de d .
Quel est le signe de la dérivée d’une courbe « en cloche » ? Possède-t-elle des points d’inflexion ?
Si le champ B
➞ est uniforme le long d’une ligne de
champ, alors les lignes de champ voisines sont parallèles ; pourquoi ?
Si la dérivée seconde en 0 d’une fonction paire est
nulle, quel est l’ordre de la plus faible puissance dans
le développement de Taylor ?
z
R
B
B 0