©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
EXERCICES
Le champ magnétique permanent
2
445
Le disque positif, de centre O , est mis en rotation autour de
l’axe (Oz) . Calculer le champ magnétique en un point M
de l’axe (Oz) . En quel point ce champ est-il maximal ? On
repérera M par l’angle a .
2 • U = 100 kV , R = 10 cm , e = 0,5 mm , et la vitesse
de rotation est de 6 000 tours par minute.
Calculer la valeur maximale du champ magnétique.
Comparer cette valeur à celle du champ magnétique terrestre.
Champ magnétique créé
par une sphère chargée
en rotation (oral)
On considère une sphère isolante, de rayon R et de centre O , creuse, portant une charge Q uniformément répartie sur sa surface. Elle tourne autour d’un axe Oz avec
une vitesse angulaire w constante qui ne perturbe pas la
répartition des charges.
1 • Déterminer le champ créé en O .
2 • Déterminer le champ créé loin de la sphère.
7
Disque de Rowland (oral)
Henry Rowland, physicien américain, a réalisé en 1876
une expérience qui a montré que le déplacement de charges électriques constituait bien un courant électrique susceptible de créer un champ magnétique.
Le principe, très simplifié, de l’expérience est expliqué cidessous.
1 • Un condensateur est constitué de deux disques métalliques de rayon R , très proches l’un de l’autre. Si on
impose une différence de potentiel U entre ces disques,
des charges électriques surfaciques apparaissent sur les
faces métalliques en regard. La charge sur le disque positif est uniformément répartie, avec une densité surfacique
z
α
ω
U
e
O
M
R
σε = 0
U
e
.
6
Conseils
Dans les deux cas il s’agit de sommer les champs des
spires. Dans les deux cas, les spires se répartissent sur
une demi-circonférence de longueur πR : quand on
fait varier q de O à π on décrit bien l’ensemble
des spires, depuis celle de rayon nul au «p ôle Nord »
à celle de rayon nul au «p ôle Sud » en passant par
celle de rayon R à l’équateur.
Ce qui change c’est le nombre de spires par unité de
longueur (et leur épaisseur bien évidemment): dans le
1 er cas il y a N spires jointives réparties sur une longueur πR , dans le 2 e cas ce sont les projections des
spires sur l’axe Oz qui sont en quelque sorte jointives.
Le champ d’une spire est en sin 3 q donc il faut
considérer le nombre de spires contenues entre q et
q +dq , car elles contribuent également au champ
total en O . Leur nombre est proportionnel à dq de
manière immédiate dans le 1
er
cas, dans le 2
e
cas il
s’exprime en dz , qu’on exprimera en fonction de
dq . Il ne reste plus alors qu’à intégrer de q = 0 à
q = π .
Conseils
Il faut partir de l’expression (à connaître) du champ
B
➞ sur l’axe d’une spire circulaire parcourue par un
courant I .
Les différentes étapes du calcul de B
➞ sont :
• déterminer le courant élémentaire dI associé à la
« spire » de rayon r et de largeur dr ;
• déterminer le champ dB associé à cette spire élémentaire ;
• calculer le champ total B(z) en intégrant dB .
Pour le calcul de l’intégrale, il est plus simple d’utiliser comme variable l’angle q sous lequel on voit la
« spire » de rayon r ; q varie entre 0 et a .
Conseils
1) Les charges en mouvement créent des courants
électriques. Il suffit de trouver le «d écoupage » en
élément de surface se comportant comme des spires
et on est ramené au calcul de l’exercice 5 (répartition
de spires jointives ou non sur une sphère).
Pour évaluer l’intensité du courant qui circule dans
ces «spires », on peut chercher la quantité d’électricité qui s’est déplacée pendant un tour pour calculer
celle qui circule par unité de temps.
2) L’analyse est la même, seul change l’angle sous
lequel est vu une spire. Comme on est très loin de la
sphère on peut approximer le sinus de l’angle à sa
tangente, ce qui facilite le calcul.
La photocopie non autorisée est un délit.
EXERCICES
Le champ magnétique permanent
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Le disque positif, de centre O , est mis en rotation autour de
l’axe (Oz) . Calculer le champ magnétique en un point M
de l’axe (Oz) . En quel point ce champ est-il maximal ? On
repérera M par l’angle a .
2 • U = 100 kV , R = 10 cm , e = 0,5 mm , et la vitesse
de rotation est de 6 000 tours par minute.
Calculer la valeur maximale du champ magnétique.
Comparer cette valeur à celle du champ magnétique terrestre.
Champ magnétique créé
par une sphère chargée
en rotation (oral)
On considère une sphère isolante, de rayon R et de centre O , creuse, portant une charge Q uniformément répartie sur sa surface. Elle tourne autour d’un axe Oz avec
une vitesse angulaire w constante qui ne perturbe pas la
répartition des charges.
1 • Déterminer le champ créé en O .
2 • Déterminer le champ créé loin de la sphère.
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Disque de Rowland (oral)
Henry Rowland, physicien américain, a réalisé en 1876
une expérience qui a montré que le déplacement de charges électriques constituait bien un courant électrique susceptible de créer un champ magnétique.
Le principe, très simplifié, de l’expérience est expliqué cidessous.
1 • Un condensateur est constitué de deux disques métalliques de rayon R , très proches l’un de l’autre. Si on
impose une différence de potentiel U entre ces disques,
des charges électriques surfaciques apparaissent sur les
faces métalliques en regard. La charge sur le disque positif est uniformément répartie, avec une densité surfacique
z
α
ω
U
e
O
M
R
σε = 0
U
e
.
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Conseils
Dans les deux cas il s’agit de sommer les champs des
spires. Dans les deux cas, les spires se répartissent sur
une demi-circonférence de longueur πR : quand on
fait varier q de O à π on décrit bien l’ensemble
des spires, depuis celle de rayon nul au «p ôle Nord »
à celle de rayon nul au «p ôle Sud » en passant par
celle de rayon R à l’équateur.
Ce qui change c’est le nombre de spires par unité de
longueur (et leur épaisseur bien évidemment): dans le
1 er cas il y a N spires jointives réparties sur une longueur πR , dans le 2 e cas ce sont les projections des
spires sur l’axe Oz qui sont en quelque sorte jointives.
Le champ d’une spire est en sin 3 q donc il faut
considérer le nombre de spires contenues entre q et
q +dq , car elles contribuent également au champ
total en O . Leur nombre est proportionnel à dq de
manière immédiate dans le 1
er
cas, dans le 2
e
cas il
s’exprime en dz , qu’on exprimera en fonction de
dq . Il ne reste plus alors qu’à intégrer de q = 0 à
q = π .
Conseils
Il faut partir de l’expression (à connaître) du champ
B
➞ sur l’axe d’une spire circulaire parcourue par un
courant I .
Les différentes étapes du calcul de B
➞ sont :
• déterminer le courant élémentaire dI associé à la
« spire » de rayon r et de largeur dr ;
• déterminer le champ dB associé à cette spire élémentaire ;
• calculer le champ total B(z) en intégrant dB .
Pour le calcul de l’intégrale, il est plus simple d’utiliser comme variable l’angle q sous lequel on voit la
« spire » de rayon r ; q varie entre 0 et a .
Conseils
1) Les charges en mouvement créent des courants
électriques. Il suffit de trouver le «d écoupage » en
élément de surface se comportant comme des spires
et on est ramené au calcul de l’exercice 5 (répartition
de spires jointives ou non sur une sphère).
Pour évaluer l’intensité du courant qui circule dans
ces «spires », on peut chercher la quantité d’électricité qui s’est déplacée pendant un tour pour calculer
celle qui circule par unité de temps.
2) L’analyse est la même, seul change l’angle sous
lequel est vu une spire. Comme on est très loin de la
sphère on peut approximer le sinus de l’angle à sa
tangente, ce qui facilite le calcul.