5 • V int (r) = – E dr + cte = – – dr + cte
V int (r) = –
–
+ cte.
La constante est obtenue par continuité soit
V int (a) = V ext (a) = –
–
+ cte =
soit cte =
+ – =
Il vient : V int (r) = –
–
+
=
– –
+
.
On aurait pu aussi calculer V int (r) – V ext (r = a) = –
a
r
E dr.
Interaction proton – électron
(Modèle de Thomson de l’atome
d’hydrogène)
1 • Déterminons le champ E
➞
1 créé par la sphère uniformément chargée ; E
➞
1 est radial et ne dépend que de r :
E
➞
1 = E 1 (r) u
➞
r .
Pour r R tout se passe comme si la charge totale de la
sphère était en O, soit : E 1 (r) =
pour r R.
Pour r R , l’application du théorème de Gauss donne :
E 1 (r) 4πr 2 = Q
soit E 1 (r) =
r pour r R.
On pourra se reporter à l’exercice 10 (incontournable) pour
un calcul plus détaillé.
Sachant que E
➞ = E
➞
0 + E
➞
1 , cela donne sur l’axe Ox :
E(x)
AB
+ R
– R
x
Q
4pe 0 R 2
Q
4pe 0 R 2
E 0 +
E 0 –
E 0
Q
4πe 0 R 3
r 3
R 3
Q
4πe 0 r 2
13
a 2
4
r 4
20a 2
r 2
6
r 0
e 0
r 0 a 2
4e 0
r 3
20a 2
r 2
6
r 0
e 0
r 0 a
2
4e 0
1
20
1
6
2
15
r 0 a 2
e 0
r 0 2a
2
15e 0
a 4
20a 2
a 2
6
r 0
e 0
r
4
20a 2
r 2
6
r 0
e 0
r 3
5a 2
r
3
r 0
e 0
2 • La particule – q est soumise à la force – qE
➞ dont la
résultante est nulle si E
➞ = 0. Ceci n’est possible que si
E 0
pour que les deux points A et B existent. Il
existe donc deux positions d’équilibre si E 0
.
Pour étudier la stabilité déterminons l’énergie potentielle de
la particule, E p = – qV :
x – R : V = – E 0 x –
– E 0 R –
en prenant par
exemple V = 0 en x = – R.
– R x 0:V= – E 0 x –
– E 0 R +
en
prenant à nouveau V = 0 en x = – R.
L’allure de V(x) est la suivante :
En effet, étudions les concavités pour x en A et B :
x – R :
= – E 0 +
; x A = –
5
= –
0 pour x 0 donc la concavité est
vers le haut en particulier en x A .
– R x 0:
= – E 0 –
; x B = –
= –
0 ∀x, donc la concavité est vers le bas.
Sachant que E p = – qV, la position d’équilibre stable est en B
avec x B = –
.
3 • Le mouvement de la particule est donné par les solutions
de l’équation différentielle :
m
= – qE = – q E 0 +
Posons y = x – x B , cela donne :
m
= – q E 0 +
y +
= –
y (y = 0 est la position d’équilibre)
qQ
4πe 0 R 3
Qx B
4πe 0 R 3
Q
4πe 0 R 3
d 2 y
dt 2
Qx
4πe 0 R 3
d 2 x
dt 2
4πe 0 R 3 E 0
Q
Q
4πe 0 R 3
d 2 V
dx 2
4πe 0 E 0 R
3
Q
Qx
4πe 0 R 3
dV
dx
1
x 3
2Q
4πe 0
d 2 V
dx 2
Q
4πe 0 E 0
Q
4πe 0 x 2
dV
dx
V(x)
B
– R
A
0
x
Q
8πε 0 R
Qx 2
8πε 0 R 3
Q
4πe 0 R
Q
4πe 0 x
Q
4πe 0 R 2
Q
4πe 0 R 2
CORRIGÉS
Distributions, champ et potentiel électrostatiques
1
435
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La photocopie non autorisée est un délit.
x – R
– R x 0
0 x R
x R
E
➞
0
E 0 u
➞
x
E 0 u
➞
x
E 0 u
➞
x
E 0 u
➞
x
E
➞
1
–
u
➞
x
Q
4πe 0 x 2
xu
➞
x
Q
4πe 0 R 3
u
➞
x
Qx
4πe 0 R 3
u
➞
x
Q
4πe 0 x 2
E
➞
2 E 0 –
u
➞
x
Q
4πe 0 x
2
E 0 +
u
➞
x
Qx
4πe 0 R
3
E 0 +
u
➞
x
Qx
4πe 0 R
3
E 0 +
u
➞
x
Q
4πe 0 x
2
V int (r) = –
–
+ cte.
La constante est obtenue par continuité soit
V int (a) = V ext (a) = –
–
+ cte =
soit cte =
+ – =
Il vient : V int (r) = –
–
+
=
– –
+
.
On aurait pu aussi calculer V int (r) – V ext (r = a) = –
a
r
E dr.
Interaction proton – électron
(Modèle de Thomson de l’atome
d’hydrogène)
1 • Déterminons le champ E
➞
1 créé par la sphère uniformément chargée ; E
➞
1 est radial et ne dépend que de r :
E
➞
1 = E 1 (r) u
➞
r .
Pour r R tout se passe comme si la charge totale de la
sphère était en O, soit : E 1 (r) =
pour r R.
Pour r R , l’application du théorème de Gauss donne :
E 1 (r) 4πr 2 = Q
soit E 1 (r) =
r pour r R.
On pourra se reporter à l’exercice 10 (incontournable) pour
un calcul plus détaillé.
Sachant que E
➞ = E
➞
0 + E
➞
1 , cela donne sur l’axe Ox :
E(x)
AB
+ R
– R
x
Q
4pe 0 R 2
Q
4pe 0 R 2
E 0 +
E 0 –
E 0
Q
4πe 0 R 3
r 3
R 3
Q
4πe 0 r 2
13
a 2
4
r 4
20a 2
r 2
6
r 0
e 0
r 0 a 2
4e 0
r 3
20a 2
r 2
6
r 0
e 0
r 0 a
2
4e 0
1
20
1
6
2
15
r 0 a 2
e 0
r 0 2a
2
15e 0
a 4
20a 2
a 2
6
r 0
e 0
r
4
20a 2
r 2
6
r 0
e 0
r 3
5a 2
r
3
r 0
e 0
2 • La particule – q est soumise à la force – qE
➞ dont la
résultante est nulle si E
➞ = 0. Ceci n’est possible que si
E 0
pour que les deux points A et B existent. Il
existe donc deux positions d’équilibre si E 0
.
Pour étudier la stabilité déterminons l’énergie potentielle de
la particule, E p = – qV :
x – R : V = – E 0 x –
– E 0 R –
en prenant par
exemple V = 0 en x = – R.
– R x 0:V= – E 0 x –
– E 0 R +
en
prenant à nouveau V = 0 en x = – R.
L’allure de V(x) est la suivante :
En effet, étudions les concavités pour x en A et B :
x – R :
= – E 0 +
; x A = –
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= –
0 pour x 0 donc la concavité est
vers le haut en particulier en x A .
– R x 0:
= – E 0 –
; x B = –
= –
0 ∀x, donc la concavité est vers le bas.
Sachant que E p = – qV, la position d’équilibre stable est en B
avec x B = –
.
3 • Le mouvement de la particule est donné par les solutions
de l’équation différentielle :
m
= – qE = – q E 0 +
Posons y = x – x B , cela donne :
m
= – q E 0 +
y +
= –
y (y = 0 est la position d’équilibre)
4πe 0 R 3
Qx B
4πe 0 R 3
Q
4πe 0 R 3
d 2 y
dt 2
Qx
4πe 0 R 3
d 2 x
dt 2
4πe 0 R 3 E 0
Q
Q
4πe 0 R 3
d 2 V
dx 2
4πe 0 E 0 R
3
Q
Qx
4πe 0 R 3
dV
dx
1
x 3
2Q
4πe 0
d 2 V
dx 2
Q
4πe 0 E 0
Q
4πe 0 x 2
dV
dx
V(x)
B
– R
A
0
x
Q
8πε 0 R
Qx 2
8πε 0 R 3
Q
4πe 0 R
Q
4πe 0 x
Q
4πe 0 R 2
Q
4πe 0 R 2
CORRIGÉS
Distributions, champ et potentiel électrostatiques
1
435
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
x – R
– R x 0
0 x R
x R
E
➞
0
E 0 u
➞
x
E 0 u
➞
x
E 0 u
➞
x
E 0 u
➞
x
E
➞
1
–
u
➞
x
Q
4πe 0 x 2
xu
➞
x
Q
4πe 0 R 3
u
➞
x
Qx
4πe 0 R 3
u
➞
x
Q
4πe 0 x 2
E
➞
2 E 0 –
u
➞
x
Q
4πe 0 x
2
E 0 +
u
➞
x
Qx
4πe 0 R
3
E 0 +
u
➞
x
Qx
4πe 0 R
3
E 0 +
u
➞
x
Q
4πe 0 x
2